Inversion géométrique

P ' est l'inverse de P par rapport au cercle.

Inverser un nombre en arithmétique signifie généralement prendre son inverse. Une idée étroitement liée en géométrie est celle de "l'inversion" d'un point. Dans le plan, l'inverse d'un point P par rapport à un cercle de référence (Ø) de centre O et de rayon r est un point P', situé sur le rayon O passant par P tel que

${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.}$

C'est ce qu'on appelle l'inversion par un cercle ou l'inversion par un plan. L'inversion prenant tout point P (différent de O) à son image P ' ramène également P ' à P, donc le résultat de l'application de la même inversion deux fois est la transformation d'identité sur tous les points du plan autres que O (involution) . Pour faire de l'inversion une involution il faut introduire un point à l'infini, un seul point placé sur toutes les droites, et prolonger l'inversion, par définition, pour intervertir le centre O et ce point à l'infini.

Il découle de la définition que l'inversion de tout point à l'intérieur du cercle de référence doit se trouver à l'extérieur de celui-ci, et vice versa, avec le centre et le point à l'infini changeant de position, tandis que tout point du cercle n'est pas affecté (est invariant par inversion). En résumé, plus un point est proche du centre, plus sa transformation est éloignée, et vice versa.

Point à l'extérieur du cercle

Pour construire l'inverse P ' d'un point P extérieur à un cercle Ø : Soit r le rayon de Ø . Les triangles rectangles OPN et ONP ' sont semblables. OP est à r ce que r est à OP '.

Pour construire l'inverse P ' d'un point P extérieur à un cercle Ø :

• on dessine le segment de O (centre du cercle Ø ) à P
• on note M le milieu de OP
• on trace le cercle c de centre M passant par P (le cercle bleu sur le schéma)
• Soient N et N ' les points d'intersection de Ø et c .
• on dessine le segment NN ' .
• P ' est l'intersection de OP et NN ' .

Point à l'intérieur du cercle

Pour construire l'inverse P d'un point P ' à l'intérieur d'un cercle Ø :

• on trace le rayon r de O (centre du cercle Ø ) passant par P ' (c'est la ligne horizontale)
• on trace la droite s passant par P ' perpendiculaire à r (c'est la ligne verticale)
• Soit N un des points où Ø et s se coupent.
• on dessine le segment ON .
• on trace la ligne t passant par N perpendiculaire à ON .
• P est l'intersection du rayon r et de la droite t .

Il existe une construction du point inverse de A par rapport à un cercle P qui est indépendante du fait que A soit à l'intérieur ou à l'extérieur de P[2] .

On considère un cercle P de centre O et un point A qui peut être à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle P.

• on prend le point d'intersection C du rayon OA avec le cercle P .
• on connecte le point C avec un point quelconque B sur le cercle P (différent de C)
• Soit h la réflexion du rayon BA sur la droite BC . Alors h coupe le rayon OC en un point A ' . A ' est le point inverse de A par rapport au cercle P[2] . ^{:§ 3.2}

• 
  L'inverse, par rapport au cercle rouge, d'un cercle passant par O (bleu) est une droite ne passant pas par O (vert), et inversement.
• 
  L'inverse, par rapport au cercle rouge, d'un cercle ne passant pas par O (bleu) est un cercle ne passant pas par O (vert), et inversement.
• 
  L'inversion par rapport à un cercle ne fait pas correspondre le centre du cercle au centre de son image

L'inversion d'un ensemble de points du plan par rapport à un cercle est l'ensemble des inverses de ces points. Les propriétés suivantes rendent l'inversion de cercle utile.

• un cercle qui passe par le centre O du cercle de référence s'inverse en une droite ne passant pas par O, mais parallèle à la tangente au cercle d'origine en O, et vice versa ; alors qu'une droite passant par O est inversée sur elle-même (mais pas invariante ponctuellement).
• Un cercle ne passant pas par O s'inverse en un cercle ne passant pas par O . Si le cercle rencontre le cercle de référence, ces points d'intersection invariants sont également sur le cercle inverse. Un cercle (ou une droite) est invariant par inversion si et seulement s'il est orthogonal au cercle de référence aux points d'intersection.

Les propriétés supplémentaires incluent :

• Si un cercle q passe par deux points distincts A et A' inverses par rapport à un cercle k, alors les cercles k et q sont orthogonaux.
• Si les cercles k et q sont orthogonaux, alors une droite passant par le centre O de k et coupant q, le fait en des points inverses par rapport à k .
• Étant donné un triangle OAB dans lequel O est le centre d'un cercle k, et les points A' et B' inverses de A et B par rapport à k, alors

${\displaystyle {\widehat {OAB}}={\widehat {OB'A'}}\ {\text{ et }}\ {\widehat {OBA}}={\widehat {OA'B'}}.}$

• Les points d'intersection de deux cercles p et q orthogonaux à un cercle k, sont inverses par rapport à k.
• Si M et M' sont des points inverses par rapport à un cercle k sur deux courbes m et m', également inverses par rapport à k, alors les tangentes à m et m' aux points M et M' sont soit perpendiculaires à la droite droite MM' ou former avec cette droite un triangle isocèle de base MM'.
• L'inversion laisse la mesure des angles inchangée, mais inverse l'orientation des angles orientés.

Exemples d'inversion des cercles A à J par rapport au cercle rouge en O. Les cercles A à F, qui passent par O, correspondent à des droites. Cercles G à J, qui ne correspondent pas à d'autres cercles. Le cercle de référence et la ligne L correspondent à eux-mêmes. Les cercles coupent leurs inverses, le cas échéant, sur le cercle de référence.

• L'inversion d'une droite est un cercle contenant le centre d'inversion ; ou c'est la ligne elle-même si elle contient le centre
• L'inversion d'un cercle est un autre cercle ; ou c'est une ligne si le cercle d'origine contient le centre
• L'inversion d'une parabole est une cardioïde
• L'inversion de l'hyperbole est une lemniscate de Bernoulli

Pour un cercle ne passant pas par le centre d'inversion, le centre du cercle en cours d'inversion et le centre de son image en inversion sont colinéaires au centre du cercle de référence. Ce fait peut être utilisé pour prouver que la droite d'Euler du triangle de contact d'un triangle coïncide avec sa ligne OI. La preuve va à peu près comme suit :

On inverse par rapport au cercle inscrit du triangle ABC . Le triangle médian du triangle de contact est inversé en triangle ABC, c'est-à-dire que le centre circonscrit du triangle médial, c'est-à-dire que le centre du cercle d'Euler du triangle de contact, le centre et le centre circonscrit du triangle ABC sont colinéaires.

Deux cercles non sécants peuvent être inversés en cercles concentriques . Ensuite, la distance d'inversion (généralement notée δ) est définie comme le logarithme népérien du rapport des rayons des deux cercles concentriques.

De plus, deux cercles non sécants peuvent être inversés en cercles congruents, en utilisant un cercle d'inversion centré en un point sur le cercle d'antisimilitude .

Le dispositif de Peaucellier-Lipkin est une implémentation mécanique de l'inversion dans un cercle. Il fournit une solution exacte au problème important de la conversion entre le mouvement linéaire et le mouvement circulaire.

La polaire q en un point Q par rapport à un cercle de rayon r centré sur le point O. Le point P est le point d'inversion de Q ; la polaire est la droite passant par P perpendiculaire à la droite contenant O, P et Q .

Si le point R est l'inverse du point P alors les droites perpendiculaires à la droite PR passant par l'un des points est la polaire de l'autre point (le pôle).

Les pôles et les polaires ont plusieurs propriétés utiles :

• Si un point P se trouve sur une droite l, alors le pôle L de la droite l se trouve sur la polaire p du point P .
• Si un point P se déplace le long d'une droite l, sa polaire p tourne autour du pôle L de la droite l .
• Si deux lignes tangentes peuvent être tracées d'un pôle au cercle, alors sa polaire passe par les deux points tangents.
• Si un point se trouve sur le cercle, sa polaire est la tangente passant par ce point.
• Si un point P est sur sa propre ligne polaire, alors P est sur le cercle.
• Chaque ligne a exactement un pôle.

La surface la plus simple (après le plan) est la sphère. La première image montre une inversion non triviale (le centre de la sphère n'est pas le centre d'inversion) d'une sphère avec deux faisceaux de cercles qui se croisent orthogonalement.

L'inversion d'un cylindre, d'un cône ou d'un tore donne un cyclide de Dupin (en).

Un sphéroïde est une surface de révolution et contient un faisceau de cercles qui est projeté sur un faisceau de cercles (voir image). L'image inverse d'un sphéroïde est une surface de degré 4.

Un hyperboloïde à une nappe, qui est une surface de révolution contenant un faisceau de cercles qui est projeté sur un faisceau de cercles. Un hyperboloïde à une nappe contient deux faisceaux de lignes supplémentaires, qui sont projetés sur des faisceaux de cercles. L'image montre une telle ligne (bleue) et son inversion.

Projection stéréographique comme inversion d'une sphère

Une projection stéréographique projette généralement une sphère à partir d'un point ${\displaystyle N}$ (pôle nord) de la sphère sur le plan tangent au point opposé ${\displaystyle S}$ (pôle Sud). Cette cartographie peut être réalisée par une inversion de la sphère sur son plan tangent. Si la sphère (à projeter) a pour équation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$ (écrit alternativement ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$ ; de centre ${\displaystyle (0,0,-0.5)}$, de rayon ${\displaystyle 0,5}$, en vert sur l'image), alors il sera projeté par l'inversion par rapport à la sphère unité (rouge) sur le plan tangent au point ${\displaystyle S=(0,0,-1)}$. Les droites passant par le centre d'inversion (point ${\displaystyle N}$ ) sont projetés sur eux-mêmes. Ce sont les lignes de projection de la projection stéréographique.

Les coordonnées à 6 sphères sont un système de coordonnées pour l'espace tridimensionnel obtenu en inversant les coordonnées cartésiennes.

La combinaison de deux inversions en cercles concentriques se traduit par une similitude, une homothétie ou une dilatation caractérisée par le rapport des rayons des cercles.

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.}$

Lorsqu'un point du plan est interprété comme un nombre complexe ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y,}$ avec complexe conjugué ${\displaystyle {\bar {z}}=x-\mathrm {i} y,}$ alors l'inverse de z est

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.}$

Par conséquent, la forme algébrique de l'inversion dans un cercle unité est donnée par ${\displaystyle z\mapsto w}$ où:

${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}$ .

La réciprocité est la clé de la théorie de la transformation en tant que générateur du groupe de Möbius. Les autres générateurs sont la translation et la rotation, tous deux familiers par des manipulations physiques dans l'espace 3 ambiant. L'introduction de la réciprocité (dépendante de l'inversion du cercle) est ce qui produit la nature particulière de la géométrie de Möbius, qui est parfois identifiée à la géométrie inversive (du plan euclidien). Cependant, la géométrie inversive est l'étude la plus large puisqu'elle inclut l'inversion brute dans un cercle (pas encore faite, avec conjugaison, en va-et-vient). La géométrie inverse comprend également la cartographie de conjugaison. Ni la conjugaison ni l'inversion dans un cercle ne sont dans le groupe de Möbius car elles ne sont pas conformes (voir ci-dessous). Les éléments du groupe de Möbius sont des fonctions analytiques du plan entier et sont donc nécessairement conformes.

On considère, dans le plan complexe, le cercle de rayon ${\displaystyle r}$ autour du point ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (z-a)(z-a)^{*}=r^{2}}$

où sans perte de généralité, ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$ En utilisant la définition de l'inversion

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}$

on peut montrer directmeent que ${\displaystyle w}$ vérifie l'équation

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}}$

et donc que ${\displaystyle w}$ décrit le cercle de centre ${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$ et rayon ${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

Lorsque ${\displaystyle a\to r,}$ le cercle se transforme en la droite parallèle à l'axe imaginaire ${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.}$

Pour ${\displaystyle a\not \in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle aa^{*}\neq r^{2}}$ le résultat pour ${\displaystyle w}$ est

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

montrant que le ${\displaystyle w}$ décrit le cercle de centre ${\textstyle {\frac {a}{(aa^{*}-r^{2})}}}$ et rayon ${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$ .

Lorsque ${\displaystyle a^{*}a\to r^{2},}$ l'équation pour ${\displaystyle w}$ devient

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}}$

Comme mentionné ci-dessus, l'origine nécessite une attention particulière dans la projection d'inversion de cercle. L'approche consiste à joindre un point à l'infini noté ∞ ou 1/0 . Dans l'approche des nombres complexes, où la réciprocité est l'opération apparente, cette procédure conduit à la droite projective complexe, souvent appelée la sphère de Riemann. Ce sont des sous-espaces et des sous-groupes de cet espace et groupe de mappages qui ont été appliqués pour produire les premiers modèles de géométrie hyperbolique par Beltrami, Cayley et Klein. Ainsi, la géométrie inversive inclut les idées de Lobachevski et Bolyai dans leur géométrie plane. De plus, Klein est tellement conquis par cette facilité des cartographies à identifier les phénomènes géométriques qu'il livre un manifeste, le programme d'Erlangen, en 1872. Depuis lors, de nombreux mathématiciens réservent le terme géométrie à un espace avec un groupe de cartographies de cet espace. Les propriétés significatives des figures dans la géométrie sont celles qui sont invariantes sous ce groupe.

Par exemple, Smogorzhevsky [6] développe plusieurs théorèmes de géométrie inversive avant de commencer la géométrie lobachevskienne.