Birapport

Un résultat important en géométrie projective stipule qu'une projection centrale conserve le birapport. Il permet de dire dans la figure ci-jointe que les birapports de (A, B ; C, D) et (A', B' ; C', D') sont égaux quelles que soient les droites qui portent la série des quatre points. (Une démonstration est réalisable en utilisant plusieurs fois le théorème de Thalès).

Puisque ce rapport est indépendant de la sécante aux quatre droites, ce rapport ne dépend que de la position relative des quatre droites. Il est alors appelé birapport de ces quatre droites[5]

${\displaystyle (d_{\mathrm {A} },d_{\mathrm {B} };d_{\mathrm {C} },d_{\mathrm {D} })}$

On montre, en fait, que ce rapport est égal à ${\displaystyle {\frac {\frac {\sin {\mathrm {COA} }}{\sin {\mathrm {COB} }}}{\frac {\sin {\mathrm {DOA} }}{\sin {\mathrm {DOB} }}}}}$, ce qui explique que le birapport soit indépendant de la transversale choisie.

La dualité par pôles et polaires réciproques conserve le rapport anharmonique de quatre éléments d'une structure unidimensionnelle.

La notion de division harmonique peut aussi être définie à partir d'un quadrilatère complet : A et B sont conjugués par rapport à C et D.

Lorsque le birapport est égal à -1, on dit que les quatre points sont en division harmonique. Le point D est alors appelé le conjugué de C par rapport à A et B. Les propriétés du birapport font que C est aussi le conjugué de D par rapport à ces mêmes points, et en sens inverse A et B sont conjugués par rapport à C et D. Le nom de rapport anharmonique autrefois donné au birapport provient de ce qu'il mesure le défaut du caractère harmonique d'un quadruplet de points alignés, le caractère harmonique pouvant être caractérisé par exemple uniquement par des propriétés d'incidence.

Exemple 1: la suite harmonique

Le point d'abscisse ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ est le conjugué du point d'abscisse 1 par rapport aux points d'abscisse 0 et ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

le point d'abscisse ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ est le conjugué de celui d'abscisse ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ par rapport aux points d'abscisse 0 et ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$.

De manière générale, le point d'abscisse ${\displaystyle {\frac {1}{n+2}}}$ est le conjugué du point d'abscisse ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ par rapport aux points d'abscisse ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}}$ et 0

On définit ainsi la suite de nombres ${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}}}$… appelée suite harmonique que l'on retrouve en musique pour définir la gamme harmonique

Exemple 2 : moyenne harmonique

Le conjugué de 0 par rapport à x et y est la moyenne harmonique de x et de y :

${\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$

Exemple 3 : barycentre

Si C est le barycentre de (A, a) et (B, b) alors son conjugué par rapport à A et B est le barycentre de (A, -a) et (B, b)

Pour d'autres exemples :

Birapport de triangles

En géométrie affine, le birapport ne s'exprime pas qu'en termes de mesure algébrique, mais aussi en termes d'aire algébrique, et en géométrie euclidienne, en termes d'angle orienté. Par exemple sur le schéma ci-contre l'aire des divers triangles peuvent s'exprimer de deux manières.

Par exemple pour OAB on a

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\times \mathrm {OH} \times \mathrm {AB} ={\frac {1}{2}}\times \mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \times \sin({\widehat {\mathrm {AOB} }})}$.

D'où, après simplifications de OH² ou de OA×OB×OC×OD, l'égalité des trois birapports : de longueurs, d'aires et de sinus.

La propriété du birapport des sinus a une conséquence pour six points cocycliques A, B, C, D, M, P. Les angles ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {AMB} }}}$ et ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {APB} }}}$ étant égaux ou supplémentaires, leurs sinus sont égaux. Le birapport des droites M(ABCD) est égal à celui des droites P(ABCD). En conséquence on peut parler du birapport de 4 points sur un cercle. On démontre, sans les sinus, en géométrie projective que cette propriété est vraie pour une conique quelconque (étant donné une conique, si ABCDM sont fixes et si P parcourt la conique, alors le birapport des droites P(ABCD) est constant).

• 
  Birapport dans un cercle
• 
  Inversion et rapport anharmonique dans un cercle

On peut en déduire que l'inversion de quatre points alignés, EFGH, de centre M, conserve leur birapport sur leurs images cocycliques ABCD.

D et D' divisent le segment [BC] selon une division harmonique si et seulement si D, E, F sont alignés

Le théorème de Ceva et le théorème de Ménélaüs sont reliés par un rapport harmonique.

Les deux théorèmes impliquent deux relations :

${\displaystyle {\frac {\overline {\mathrm {BD} }}{\overline {\mathrm {DC} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {CE} }}{\overline {\mathrm {EA} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {AF} }}{\overline {\mathrm {FB} }}}=1}$ et ${\displaystyle {\frac {\overline {\mathrm {D'B} }}{\overline {\mathrm {D'C} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {EC} }}{\overline {\mathrm {EA} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {FA} }}{\overline {\mathrm {FB} }}}=1}$.

qui, après simplification, mènent à :

${\displaystyle {\frac {\frac {\overline {\mathrm {DB} }}{\overline {\mathrm {DC} }}}{\frac {\overline {\mathrm {D'B} }}{\overline {\mathrm {D'C} }}}}=-1}$,

ce qui exprime que les points D et D' divisent le segment [BC] selon une division harmonique.

En passant cette propriété donne une construction du conjugué de D par rapport à BC, en prenant un point arbitraire A hors de (BC) et un point arbitraire M sur (AD).

Déf : Soient α, β, γ et δ des complexes deux à deux distincts. On définit leur birapport ${\displaystyle [\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ]={\frac {(\alpha -\gamma )(\beta -\delta )}{(\alpha -\delta )(\beta -\gamma )}}\cdot }$

Prop : Quatre points (d'affixes) α, β, γ et δ sont cocycliques ou alignés ssi [α, β, γ, δ] ∈ ℝ.

Prop : Il existe une relation de Chasles multiplicative dans l'ensemble des birapports mettant en jeu cinq nombres a, b, c, d et e. ${\displaystyle [a,b,c,d]\times [a,b,d,e]=[a,b,c,e]}$. Les nombres a et b ne changent pas, le nombre d sert d'intermédiaire entre c et e. Un simple développement de l'expression permet de la vérifier.

Prop : on trouvera dans Géométrie analytique classique, cité en bibliographie, la spectaculaire « formule des six birapports » énoncée par Daniel Perrin.

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, 508 p. (ISBN 978-2-916352-08-4)
• Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métriques : cours et exercices, Paris, Calvage & Mounet, 2011, 355 p. (ISBN 978-2-916352-12-1)
• Daniel Perrin, « Géométrie projective plane et applications aux géométries euclidienne et non euclidiennes », livre en préparation (consulté le 27 décembre 2018)