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2-forme de courbure

La 2-forme de courbure est une forme différentielle induite par une forme de connexion sur un fibré principal dans le domaine de la géométrie différentielle.

Définition

Soient :

  • , un groupe de Lie ;
  • , l'algèbre de Lie de ;
  • , une variété différentielle ;
  • , un -fibré principal sur ;
  • , la représentation adjointe de sur son algèbre de Lie ;
  • , le fibré adjoint de sur ;
  • le produit extérieur sur les -formes différentielles réelles sur ;
  • le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie ;
  • le produit wedge-crochet sur les -formes différentielles à valeurs en sur , défini par les combinaisons linéaires de :
    ;
  • , une 1-forme de connexion sur .

La 2-forme de courbure sur de la 1-forme de connexion est par définition :

.

La 2-forme de courbure sur peut aussi s'écrire comme :

.


La 2-forme de courbure étant une forme basique, elle descend à la 2-forme de courbure sur :

.

Exemples

En préquantification, la 2-forme de courbure du fibré préquantique est proportionnelle à la forme symplectique.

Le tenseur électromagnétique de Maxwell est la 2-forme de courbure d'une connexion venant d'un -fibré principal sur l'espace-temps.

Dans la théorie de jauge, la théorie de Yang-Mills, la théorie de Chern-Simons, la 2-forme de courbure joue un rôle primordial.

Le tenseur de courbure de Riemann en géométrie riemannienne est un autre exemple de 2-forme de courbure.

Références

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