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Quantification géométrique

En physique mathématique, la quantification géométrique est une approche formelle du passage de la mécanique classique à la mécanique quantique fondée sur la géométrie symplectique. Par exemple, des liens peuvent être tissés entre :

Physiquement parlant, la quantification géométrique consiste à mettre un chapeau sur les observables classiques d'une variété symplectique donnée. Mathématiquement parlant[1], la quantification géométrique consiste à définir un monomorphisme d'algèbres allant de l'algèbre de Poisson d'une variété symplectique à l'algèbre d'endomorphismes autoadjoints d'un espace de Hilbert.

Le programme de quantification géométrique fut initié par Jean-Marie Souriau vers 1960. Le but, à terme, est de définir la quantification de Dirac dans un contexte géométrique, i.e. où les coordonnées locales ne jouent qu'un rôle auxiliaire. Ce faisant, la quantification géométrique n'utilise que des concepts géométriques e.g. des variétés symplectiques, des fibrés, des sections de fibrés, des dérivées covariantes, etc. L'intérêt d'une telle construction géométrique de la mécanique quantique vient, en particulier, du fait que la relativité générale est fondée sur la géométrie différentielle.

La quantification géométrique fut l'un des principaux moteurs de recherche en géométrie symplectique des années '60 aux années '80.

Remarque : Dans l'exposé qui suit, la convention de signe employée pour le crochet de Poisson est celle utilisée par Landau et Lifschitz [2], Souriau [3], Kirillov [4], Woodhouse [5] puis McDuff et Salamon [6] et non celle employée par Dirac[7], Arnold [8], Goldstein [9] et de Gosson [10].

Historique

1913 : Niels Bohr élabore son modèle atomique, le modèle de Bohr. Ce modèle sera raffiné par Arnold Sommerfeld pour en faire le modèle de Bohr-Sommerfeld.

1925 : En , Louis de Broglie[11] établit les ondes de phase. En , Werner Heisenberg[12] définit la mécanique matricielle. En , Paul Dirac[13] pose les trois conditions quantiques devant être vérifiées par une éventuelle procédure de quantification :

1. l'application doit être -linéaire,

2. si est constante, alors doit être l'opérateur multiplication,

3. est le crochet de Poisson et où est la constante de Planck réduite. Remarquons que dans le papier de Dirac en 1925 il utilisait la convention de signe opposée du crochet de Poisson de sorte qu'il n'avait pas le signe négatif du côté droit de cette équation.

1926 : Dans une série de papiers[14], Erwin Schrödinger pose la fonction d'onde et l'équation de Schrödinger.

1927 : Hermann Weyl[15] introduit la quantification de Weyl, tentative d'associer une observable (un opérateur auto-adjoint) à une fonction réelle sur l'espace des phases.

1953 : Jean-Marie Souriau définit la notion de variété symplectique [16].

1958 : André Weil pose le théorème d'intégralité de Weil[17]. Dans le contexte de la quantification géométrique, ce théorème stipule que la forme symplectique sur est la forme de courbure d'un -fibré principal préquantique si et seulement si la seconde classe de cohomologie de de Rham de la forme symplectique est entière, i.e. . Le théorème d'intégralité de Weil, qui s'écrit de manière équivalente comme pour la première classe de Chern du -fibré , est un cas particulier de la théorie de Chern-Weil.

1960 : Jean-Marie Souriau[18] - [19] définit la préquantification géométrique. Tout comme la théorie de Kaluza-Klein est fondée sur un -fibré principal dont la variété de base est l'espace-temps, la préquatification de Souriau est fondée sur un -fibré principal dont la variété de base est une variété symplectique.

1964 : Roger Penrose[20] établit que l'équation d'une onde scalaire sans masse sur un espace-temps courbe de dimension 4 contient un terme de courbure scalaire, i.e. . Cette équation est laissée invariante par la transformation , .

1968 : N. A. Chernikov et E. A. Tagirov[21] établissent que l'équation de Klein-Gordon sur un espace-temps courbe est . Cette équation est laissée invariante par la transformation , , .

70's : La quantification géométrique avance avec, notamment, les travaux d'Alexandre Kirillov, de Bertram Kostant, de Shlomo Sternberg, de Robert J. Blattner, etc. La notion de polarisation et de correction métaplectique est introduite.

80's : Il est question de quantification métaplectique-c[22]. Grosso modo, au lieu d'un produit tensoriel "", on prend une extension non-triviale du groupe symplectique. L'avantage est que la quantification s'applique à tous les et non qu'aux de dimension complexe paire (à vérifier).

Généralités

En mécanique classique :

Considérons une variété symplectique munie d'un hamiltonien . Le champ vectoriel hamiltonien de sur est défini par . Le flot hamiltonien de est le flot du champ vectoriel , c'est-à-dire :

Considérons une observable classique définie sur . Rappelons que le crochet de Poisson entre et peut s'écrire comme . L'évolution dynamique de l'observable par le flot hamiltonien est donnée par le pull-back :

La dérivée temporelle totale de est l'équation d'Hamilton :

En mécanique quantique :

Considérons un espace de Hilbert muni d'un opérateur hamiltonien . L'opérateur d'évolution temporelle unitaire correspondant à l'hamiltonien est défini par :

Considérons une observable quantique agissant sur . Selon la représentation de Heisenberg, l'évolution dynamique de l'observable par l'hamiltonien est donnée par l'action adjointe :

La dérivée temporelle totale de est l'équation de Heisenberg :

Correspondances entre la mécanique classique et la mécanique quantique

On remarque ici une panoplie de correspondances entre la mécanique classique et la mécanique quantique. Par exemple :

  • L'hamiltonien classique correspond à l'hamiltonien quantique
  • L'observable classique correspond à l'observable quantique
  • Le flot hamiltonien correspond l'opérateur d'évolution unitaire
  • Le pull-back correspond à l'action adjointe
  • L'équation d'Hamilton correspond à l'équation de Heisenberg
  • Le crochet de Poisson correspond au commutateur quantique via

À cette liste pourrait s'ajouter ces correspondances importantes :

  • L'état classique correspond au vecteur d'état quantique
  • Une orbite hamiltonienne classique correspond à une orbite hamiltonienne quantique

Ces deux dernières correspondances sont à prendre avec un grain de sel. En effet, dans l'espace des phases, l'état classique possède une position et un momentum bien déterminé. En quantique, au contraire, le principe d'incertitude empêche de savoir en même temps la valeur de et de . Une meilleure analogie est en termes de mécanique statistique. Sur la variété symplectique repose la forme volume canonique de Liouville . À une fonction de densité de probabilités correspond une densité de probabilités :

Vient alors deux correspondances entre la mécanique statistique et la mécanique quantique :

  • L'égalité correspond à la condition de normalisation
  • L'espérance classique correspond à l'espérance quantique .

La première correspondance peut sembler relativement inutile. Toutefois, elle indique que les fonctions d'ondes quantiques sont des demi-densités de probabilités. Cette relation est à l'origine de la correction métaplectique.

Enfin, il existe une autre analogie. En mécanique classique, on peut définir l'évolution dynamique d'un système classique de deux manières différentes mais équivalentes. La première est de se dire que les observables classiques sont fixés sur alors que les états classiques évoluent dans le temps en étant poussés par le flot hamiltonien :

La seconde est de se dire que les états classiques sont fixés alors que les observables classiques évoluent dans le temps en étant tirés par le flot hamiltonien :

Ces deux manières sont équivalentes en ce sens que l'évolution temporelle de la valeur numérique obtenue par évaluation d'une observable classique sur un état classique est la même :

Ces deux manières équivalentes de voir les choses correspondent respectivement à la représentation de Schrödinger où les états quantiques évoluent comme :

et à la représentation de Heisenberg où les observables quantiques évoluent comme :


Règles à suivre pour une procédure de quantification géométrique

Le but de la quantification géométrique est d'associer à une observable classique sur une variété symplectique un opérateur quantique sur un espace de Hilbert .

Une procédure de quantification géométrique donnée doit être géométrique au sens où elle ne doit pas dépendre d'un choix de coordonnées locales particulières sur la variété . Cette procédure doit de plus satisfaire les trois conditions de Dirac énoncées plus haut. Enfin, la procédure doit pourvoir construire les systèmes quantiques usuels de la mécanique quantique, e.g. :

Tentatives de quantifications géométriques

Première tentative[23] : D'abord, on se donne , la forme volume de Liouville canonique induite par la forme symplectique sur . On considère alors la première quantification naïve suivante :

  • Un état quantique est une fonction .
  • Le produit hermitien d'états quantiques est .
  • L'espace de Hilbert est l'espace des fonctions de carrés sommables , pour le produit hermitien qui précède.
  • La quantification d'observables est :

est le champ vectoriel hamiltonien de . Ici, l'opérateur agit sur par dérivée de Lie . Le commutateur quantique correspond au crochet de Lie de champs vectoriels. Ce faisant, en utilisant la relation entre le crochet de Poisson et le crochet de Lie[24], la quantification naïve vérifie bien l'axiome 3. de la quantification de Dirac. Cette quantification satisfait aussi l'axiome 1. Mais elle ne satisfait pas l'axiome 2. puisque pour une fonction constante on a , ce qui ne donne pas l'opérateur de multiplication .

Seconde tentative[25] : Au lieu de considérer des fonctions complexes , on considère des sections pour d'un fibré en droites hermitiennes avec connexion sur . D'abord on se donne :

  • , un -fibré principal
  • , la représentation canonique du groupe structurel matriciel , i.e. .
  • , le fibré associé canonique. C'est un fibré en droites complexes.
  • , l'algèbre de Lie du groupe structurel
  • , une 1-forme de connexion
  • , la 2-forme de courbure de sur .
  • , une structure hermitienne pour le fibré en droites .

On suppose que :

  • , i.e. que est -adaptée. Ceci est équivalent à dire que est à valeurs purement imaginaires.
  • . Par la théorie de Chern-Weil, on sait que la seconde classe de cohomologie de de Rham de la 2-forme de courbure sur est entière, i.e. . Ceci se traduit par la fameuse condition d'intégralité de Weil sur la forme symplectique . Cette condition sur la forme symplectique est nécessaire et suffisante pour que la variété symplectique soit préquantifiable, i.e. qu'elle admette un fibré en droites hermitiennes avec connexion dont la courbure concorde avec la forme symplectique tel que décrit plus haut.

On considère alors le contexte quantique suivant :

  • Un état quantique est une section
  • Le produit hermitien est
  • L'espace de Hilbert est l'espace des fonctions de carrés sommables , pour le produit hermitien qui précède.
  • La quantification d'observables est[26] :

est la dérivée covariante de dans la direction du champ vectoriel hamiltonien .

Cette procédure de quantification satisfait les trois axiomes de quantification de Dirac. Toutefois, elle ne donne pas les bons opérateurs. Donnons-nous une section trivialisante locale . Elle tire la forme de connexion en bas à . Cette dernière forme différentielle complexe induit un potentiel symplectique local complexe , i.e. sur . Une section correspond à une fonction -équivariante . Cette fonction se tire via à une fonction sur . La dérivée covariante de par un champ vectoriel s'écrit alors localement :

Considérons de plus des coordonnées de Darboux sur , i.e. et le potentiel symplectique . Alors, la quantification d'une observable est explicitement donnée par :

est la transformée de Legendre de . En particulier, la quantification des observables classiques , et donne :

On remarque qu'il y a un terme de trop dans l'opérateur et que l'opérateur hamiltonien n'est pas bon. Il faut alors considérer un espace d'états quantiques plus petit, où les fonctions d'ondes sont covariantes constantes dans une certaine direction. Ceci mène vers la notion de polarisation, i.e. un feuilletage lagrangien de la variété symplectique . Ce feuilletage doit satisfaire une condition quantique d'intégralité relié aux vieilles théories quantiques de Niels Bohr et d'Arnold Sommerfeld.

Troisième tentative : Il existe trois types de polarisations sur une variété symplectique :

  • les polarisations réelles
  • les polarisations complexes (ou Kähler)
  • les polarisations mixtes (certaines directions réelles et d'autres complexes)

Par simplicité de la présentation, ne considérons que les polarisations réelles. Une polarisation réelle sur est la donnée d'un feuilletage de dont les feuilles sont des sous-variétés lagrangiennes. En coordonnées locales de Darboux , deux exemples de polarisations sont la polarisation verticale dont les feuilles lagrangiennes sont les espaces et la polarisation horizontale dont les feuilles lagrangiennes sont les espaces . Au lieu de considérer toutes les sections , on ne considère que celles qui sont covariantes constantes dans la direction d'une polarisation donnée . Ceci donne lieu à un espace de Hilbert restreint . Le noyau BKS sert à passer d'une polarisation à l'autre. Par exemple, le passage de la polarisation polarisation horizontale à la polarisation verticale donne lieu à une transformation unitaire communément appelée transformée de Fourier. Maintenant qu'on a en main la notion de polarisation, reconsidérons la quantification des opérateurs. En coordonnées de Darboux avec le potentiel symplectique et la polarisation verticale, on voit que les opérateurs ci-haut , et deviennent :

Bien que les deux opérateur et sont ceux attendus, l'opérateur hamiltonien n'est toujours pas bon. Ceci est dû au fait que le flot hamiltonien de l'hamiltonien ne préserve pas la polarisation verticale, i.e. ne la laisse pas invariante. Ce faisant, l'opérateur hamiltonien ici n'envoie pas en lui-même mais en un autre espace de Hilbert. Pour corriger le tir, il faut prendre une limite sur une itération de transformations unitaires via le noyau BKS. Ce processus correspond à la notion d'intégrale de chemin[1] de Feynman. On trouve alors le bon opérateur hamiltonien. Ensuite il y a d'autres problèmes (quoi donc ?) et il faut introduire la notion de correction métaplectique. Cette correction métaplectique ne peut pas quantifier tous les alors il faut la corriger pour la correction métaplectique-c[27].

Résultats

La quantification géométrique de l'hamiltonien classique d'une particule électriquement chargée sur une variété riemannienne de dimension :

est[28] :

Ici, est l'opérateur de Laplace-Beltrami et est la courbure scalaire de la métrique riemannienne . En particulier :

  • Lorsque , on retrouve l'opérateur hamiltonien suggéré en 1926 par Schrödinger[29] qui sert, en particulier, à établir le spectre atomique de l'atome d'hydrogène en coordonnées sphériques.
  • Lorsque , l'équation de Schrödinger pour cet hamiltonien correspond aussi à l'approximation non-relativiste de l'équation de Klein-Gordon sur un espace-temps courbe de signature

[30] - [31] - [32] :

Enfin, la quantification géométrique peut être utilisée dans un contexte de dimension 5 en théorie de Kaluza-Klein pour quantifier la charge électrique[30].

Bibliographie

Articles connexes

Liens externes

  • Un cours introductif en français sur la quantification géométrique.

Livres

Par ordre chronologique, mentionnons :

  • 1970, J.-M. Souriau, Structure des systèmes Dynamiques.
  • 1976, D. J. Simms & N. M. J. Woodhouse, Lectures on Geometric Quantization.
  • (en) J. Sniatycki, Geometric quantization and quantum mechanics, .
  • 1983, P. Dazord & N. Desolneux-Moulis, Feuilletages et quantification géométrique.
  • 1989, P. L. Robinson & J. H. Rawnsley, The metaplectic representation, structures and geometric quantization.
  • (en) N. M. J. Woodhouse, Geometric quantization, Clarendon Press., .
  • 2006, Maurice de Gosson, Symplectic Geometry and Quantum Mechanics.

Notes et références

  1. Woodhouse 1991.
  2. (1969) Mechanics (Landau AND Lifshitz), p.95
  3. (1970) Structure des systèmes dynamiques (J.-M. Souriau), p.94
  4. (1976) Elements of the theory of representations (A. A. Kirillov), p.232
  5. (1991) Geometric Quantization (N. M. J. Woodhouse), p.11
  6. (1995) Introduction to Symplectic Topology (D. McDuff AND D. Salamon), p.22-23 en posant x=p et y=q.
  7. (1925) The fundamental equations of quantum mechanics (P.A.M. Dirac), p.649
  8. (1978) Mathematical Methods Of Classical Mechanics (V. I. Arnold), p.215
  9. (1980) Classical Mechanic (H. Goldstein), p.397
  10. (2006) Symplectic geometry and Quantum Mechanics (M. A. de Gosson), p.139
  11. Louis de Broglie, 1925, Recherches sur la théorie des Quanta
  12. W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (received July 29, 1925). [traduction en anglais : B. L. van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) (ISBN 0-486-61881-1) (Titre en anglais : Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations, en français : Réinterprétation des relations cinématique et mécanique dans le cadre de la théorie quantique)].
  13. P.A.M. Dirac, 1925, The fundamental equations of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc. London ser. A, 109, 642-653, (1er décembre 1925)
  14. E. Schrödinger, 1926, An ondulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, The Physical Review, Second Series, décembre 1926, Vol. 28, No. 6
  15. H. Weyl, 1927, Quantenmechanik und Gruppentheorie, Zeitschrift für Physik, novembre 1927, Volume 46, Issue 1–2, p.1–46
  16. Patrick Iglesias-Zemmour, Symétries et moments Collection Enseignement des Sciences. Hermann, 2000., p.15
  17. André Weil, 1958, Variétés kählériennes. Voir le lemme 2, p.90.
  18. Jean-Marie Souriau, 1966, Quantification Géométrique, Commun. math. Phys., 1, 374-398. La note de bas de page à la p.374 semble indiquer que les grandes lignes de la quantification géométrique furent exposées pour la première fois en 1960.
  19. Jean-Marie Souriau, 1967, Quantification géométrique. Applications
  20. R. Penrose, 1964, Conformal treatment of infinity. Remarquons que Penrose a un "+" et non un "-" dû à une convention différente pour la définition de la courbure scalaire. La bonne formule moderne est bel et bien avec un "-" comme dans le Sniatycki 1980, p. 180. Remarquons aussi que la raison d'être de la courbure scalaire à côté du d'Alembertien est par souci d'invariance conforme.
  21. N. A. Chernikov AND E. A. Tagirov, 1968, Quantum theory of a scalar field in de Sitter space-time. Tout comme (Penrose, 1964), ils ont un "+" au lieu d'un "-" devant la courbure scalaire, dû à une vieille convention. La bonne convention moderne est un "-" comme dans Sniatycki 1980, p. 180.
  22. P. L. Robinson AND J. H. Rawnsley, 1989, The metaplectic representation structures and geometric quantization
  23. J.-M. Souriau, 1966, Quantification Géométrique, Commun. math. Phys., 1, 374-398. Voir p.382-383.
  24. Selon la convention de signe du Woodhouse 1991, p. 9 et 11.
  25. Woodhouse 1991, p. 156-157.
  26. Woodhouse 1991, p. 157.
  27. P. L. Robinson AND J. H. Rawnsley, 1989, The metaplectic representation, Mp-c structures and geometric quantization.
  28. Sniatycki 1980, p. 134.
  29. E. Schrödinger, 1926, An ondulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, p.1065
  30. Sniatycki 1980, p. 180.
  31. R. Penrose, 1964, Conformal treatment of infinity
  32. N. A. Chernikov AND E. A. Tagirov, 1968, Quantum theory of a scalar field in de Sitter space-time
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