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Fibré associé

En géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un -fibré principal et une action du groupe structurel sur un espace auxiliaire.

Définition

Soient :

  • , un groupe de Lie ;
  • , une variété différentielle ;
  • , un -fibré principal sur ;
  • l'action de groupe à droite de sur ;
  • une action de groupe à gauche de sur une variété différentielle .
Définition

Le fibré associé à pour est le fibré est défini par :

où la relation d'équivalence est :

Remarques
  • Les fibres de sont de fibre type . Il est donc commun d'écrire le fibré comme .
  • Lorsque l'action de groupe est une représentation de groupe sur un espace vectoriel , le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type .
  • Lorsque agit trivialement sur , i.e. pour tout , le fibré associé est trivial, i.e. .

Sections d'un fibré associé

Donnons-nous un fibré vectoriel associé . Les sections du fibré sont en bijection avec les fonctions qui sont -équivariantes :

Explicitement, la relation entre la section et la fonction est :

Ici, dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut.

La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé. Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur .

Exemples

  • Exemple 1 :

Soit le fibré des repères linéaires tangents à . Point par point sur la variété , les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace à l'espace tangent de :

Le fibré des repères est un -fibré principal sur . Considérons la représentation canonique du groupe structurel sur l'espace vectoriel . Alors, le fibré tangent de est un fibré associé du fibré des repères :

De même, le fibré cotangent de est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique :

  • Exemple 2 :

Soit le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication. Donnons-nous un -fibré principal . Considérons la représentation canonique de sur :

Le fibré associé à via est un fibré en droites complexes . Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.

Bibliographie

  • (en) S. K. Donaldson et P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, 1986
  • (en) José Figueroa-O’Farrill, Lectures on Gauge Theory, 2006
  • (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry,
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