Forme basique

Soient :

• ${\displaystyle G}$, un groupe de Lie ;
• ${\displaystyle B}$, une variété différentielle ;
• ${\displaystyle \pi :P\to B}$, un ${\displaystyle G}$-fibré principal sur ${\displaystyle B}$.

Dénotons l'action de groupe à droite de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle P}$ par :

${\displaystyle \Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)}$

de sorte que ${\displaystyle a\cdot \lambda =\Phi _{\lambda }(a)}$ pour tout ${\displaystyle a\in P}$ et tout ${\displaystyle \lambda \in G}$. Soit ${\displaystyle V\subset TP}$ la distribution verticale sur ${\displaystyle P}$.

Définition

Une ${\displaystyle k}$-forme basique réelle sur ${\displaystyle P}$ est une ${\displaystyle k}$-forme différentielle ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(P;\mathbb {R} )}$ qui satisfait les deux axiomes suivants :

1. ${\displaystyle \alpha }$ est ${\displaystyle G}$-invariante, c.-à-d. :

   ${\displaystyle (\Phi _{\lambda })^{*}\alpha =\alpha ,\qquad \forall \lambda \in G}$

2. ${\displaystyle \alpha }$ est horizontale, c.-à-d. pour tout vecteur tangent vertical ${\displaystyle v\in V}$ sur ${\displaystyle P}$, on a :

   ${\displaystyle \iota _{v}\alpha =0}$

On dénote par ${\displaystyle \Omega _{\mathrm {id} ,\mathrm {hor} }^{k}(P;\mathbb {R} )}$ l'ensemble des formes basiques réelles sur ${\displaystyle P}$.

Remarque

Les ${\displaystyle k}$-formes basiques réelles sur ${\displaystyle P}$ sont en bijection avec les ${\displaystyle k}$-formes différentielles réelles sur ${\displaystyle B}$. On a alors on a deux isomorphismes d'espaces vectoriels :

${\displaystyle \cdot ^{\sharp }:\Omega ^{k}(B;\mathbb {R} )\to \Omega _{\mathrm {id} ,\mathrm {hor} }^{k}(P;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \cdot _{\sharp }:\Omega _{\mathrm {id} ,\mathrm {hor} }^{k}(P;\mathbb {R} )\to \Omega ^{k}(B;\mathbb {R} )}$

tels que ${\displaystyle (\alpha _{\sharp })^{\sharp }=\alpha }$ et ${\displaystyle (\alpha ^{\sharp })_{\sharp }=\alpha }$. Explicitement, une forme basique réelle sur ${\displaystyle P}$ est le pull-back de la forme en bas sur ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle \alpha ^{\sharp }=\pi ^{*}\alpha }$

Remarque

La notion de forme basique réelle se généralise à la notion de forme basique à valeurs vectorielles. Soient :

• ${\displaystyle V}$, un espace vectoriel ;
• ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (V)}$, une représentation linéaire de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle V}$ ;
• ${\displaystyle E:=P\times _{\rho }V}$, un ${\displaystyle V}$-fibré vectoriel associé.

Définition

Une ${\displaystyle k}$-forme basique à valeurs en ${\displaystyle V}$ sur ${\displaystyle P}$ est une ${\displaystyle k}$-forme différentielle ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(P;V)}$ qui satisfait les deux axiomes suivants :

1. ${\displaystyle \alpha }$ est ${\displaystyle \rho }$-équivariante, c.-à-d. :

   ${\displaystyle (\Phi _{\lambda })^{*}\alpha =\rho (\lambda )^{-1}\circ \alpha ,\qquad \forall \lambda \in G}$

2. ${\displaystyle \alpha }$ est horizontale, c.-à-d. pour tout vecteur tangent vertical ${\displaystyle v\in V}$ sur ${\displaystyle P}$, on a :

   ${\displaystyle \iota _{v}\alpha =0}$

On dénote par ${\displaystyle \Omega _{\rho ,\mathrm {hor} }^{k}(P;V)}$ l'ensemble des formes basiques à valeurs en ${\displaystyle V}$ sur ${\displaystyle P}$.

Remarque

Les ${\displaystyle k}$-formes basiques à valeurs en ${\displaystyle V}$ sur ${\displaystyle P}$ sont en bijection avec les ${\displaystyle k}$-formes différentielles à valeurs en ${\displaystyle E}$ sur ${\displaystyle B}$. On a alors on a deux isomorphismes d'espaces vectoriels :

${\displaystyle \cdot ^{\sharp }:\Omega ^{k}(B;E)\to \Omega _{\rho ,\mathrm {hor} }^{k}(P;V)}$

${\displaystyle \cdot _{\sharp }:\Omega _{\rho ,\mathrm {hor} }^{k}(P;V)\to \Omega ^{k}(B;E)}$

tels que ${\displaystyle (\alpha _{\sharp })^{\sharp }=\alpha }$ et ${\displaystyle (\alpha ^{\sharp })_{\sharp }=\alpha }$.

La 2-forme de courbure d'une 1-forme de connexion ${\displaystyle A}$ sur ${\displaystyle P}$ est une forme basique ${\displaystyle F_{A}^{\sharp }=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega _{\mathrm {Ad} ,\mathrm {hor} }^{2}(P;{\mathfrak {g}})}$ pour ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G}$ l'algèbre de Lie de ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$, la représentation adjointe de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. La 2-forme de courbure sur ${\displaystyle P}$ descend à une 2-forme de courbure sur ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B;\mathrm {Ad} P)}$

où ${\displaystyle \mathrm {Ad} P=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}}$ est le fibré adjoint de ${\displaystyle P}$.

• (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963
• S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, 1986.
• José Figueroa-O’Farrill, Lectures on gauge theory, 2006.