Fibré adjoint

Soient :

• ${\displaystyle G}$, un groupe de Lie ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G}$, l'algèbre de Lie de ${\displaystyle G}$ ;
• ${\displaystyle B}$, une variété différentielle ;
• ${\displaystyle \pi :P\to B}$, un ${\displaystyle G}$-fibré principal sur ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle \Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)}$, l'action de groupe à droite de ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle P}$ ;
• ${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$, la représentation adjointe de ${\displaystyle G}$ sur son algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Définition

Le fibré adjoint à ${\displaystyle P}$ est le fibré associé suivant :

${\displaystyle \mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}}$

• Toute transformation de jauge infinitésimale correspond à une 0-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ;
• Tout vecteur tangent de l'espace des formes de connexions correspond à une 1-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ;
• La 2-forme de courbure d'une forme de connexion est une 2-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint.

La représentation adjointe ${\displaystyle \mathrm {Ad} }$ préserve le crochet de Lie :

${\displaystyle [\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{1}),\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{2})]=\mathrm {Ad} _{g}[\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall g\in G,\;\forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}}$

Étant ${\displaystyle \mathrm {Ad} }$-équivariant, le crochet de Lie descend à une forme bilinéaire antisymétrique définie fibre par fibre pour le fibré adjoint :

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:\mathrm {Ad} P\times \mathrm {Ad} P\to \mathrm {Ad} P}$

Ceci donne, en retour, une structure d'algèbre de Lie aux sections du fibré adjoint :

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:\Gamma (\mathrm {Ad} P)\times \Gamma (\mathrm {Ad} P)\to \Gamma (\mathrm {Ad} P)}$

Combiné avec le produit extérieur sur les formes différentielles, ceci définit un produit crochet-extérieur sur les formes différentielles à valeurs en le fibré adjoint :

${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]:\Omega ^{p}(B;\mathrm {Ad} P)\times \Omega ^{q}(B;\mathrm {Ad} P)\to \Omega ^{p+q}(B;\mathrm {Ad} P)}$

• 1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.