Accueil🇫🇷Chercher

Fibré adjoint

En géométrie différentielle, le fibré adjoint est un fibré vectoriel associé particulier d'un -fibré principal. Il joue un rôle important en théorie de jauge où les transformations de jauge infinitésimales, les vecteurs tangents à l'espace des formes de connexions et la 2-forme de courbure sont toutes des formes différentielles à valeurs dans le fibré adjoint.

Définition

Soient :

  • , un groupe de Lie ;
  • , l'algèbre de Lie de ;
  • , une variété différentielle ;
  • , un -fibré principal sur ;
  • , l'action de groupe à droite de sur ;
  • , la représentation adjointe de sur son algèbre de Lie .
Définition

Le fibré adjoint à est le fibré associé suivant :

Exemples de sections du fibré associé

Structure d'algèbre sur les sections du fibré adjoint

La représentation adjointe préserve le crochet de Lie :

Étant -équivariant, le crochet de Lie descend à une forme bilinéaire antisymétrique définie fibre par fibre pour le fibré adjoint :

Ceci donne, en retour, une structure d'algèbre de Lie aux sections du fibré adjoint :

Combiné avec le produit extérieur sur les formes différentielles, ceci définit un produit crochet-extérieur sur les formes différentielles à valeurs en le fibré adjoint :

Références

  • 1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.

Notes et références

    Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.