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Représentation de Heisenberg

En mécanique quantique, la représentation de Heisenberg est une des trois formulations et modes de traitement des problÚmes dépendant du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette représentation, les opérateurs du systÚme évoluent avec le temps alors que le vecteur d'état quantique ne dépend pas du temps.

Remarque : La reprĂ©sentation de Heisenberg ne doit pas ĂȘtre confondue avec la « mĂ©canique des matrices Â», quelquefois appelĂ©e « mĂ©canique quantique de Heisenberg Â».

Généralités

Donnons nous un espace de Hilbert , un Ă©tat quantique normĂ© , une observable quantique ainsi qu'un opĂ©rateur hamiltonien . À l'opĂ©rateur correspond une base de vecteurs propres orthonormĂ©s de valeurs propres :

Dans cette base, le vecteur d'état quantique et l'opérateur quantique se décomposent comme :

oĂč . La probabilitĂ© qu'un Ă©tat propre soit le rĂ©sultat de la mesure par d'un Ă©tat quantique est .

Représentation de Heisenberg et représentation de Schrödinger

Supposons maintenant que le systÚme évolue dans le temps. Plus précisément, supposons que les évoluent dans le temps. L'équation indique qu'il y a deux maniÚres équivalentes de décrire l'évolution temporelle du systÚme quantique. Soit on fait évoluer soit on fait évoluer . C'est-à-dire, soit on fait évoluer l'observable (et donc sa base de vecteurs propres) soit on fait évoluer le vecteur d'état . Ces deux maniÚres équivalentes de décrire l'évolution temporelle sont respectivement la représentation de Heisenberg et la représentation de Schrödinger.

Dans la représentation de Heisenberg :

  • L'Ă©tat est constant dans le temps
  • L'observable Ă©volue dans le temps selon l'Ă©quation de Heisenberg :

Dans la représentation de Schrödinger :

  • L'Ă©tat Ă©volue dans le temps selon l'Ă©quation de Schrödinger :
  • L'observable peut dĂ©pendre explicitement du temps (e.g. un champ magnĂ©tique externe dĂ©pendant du temps) mais une telle Ă©ventuelle dĂ©pendance au temps n'a rien Ă  voir avec l'Ă©volution temporelle dictĂ©e par l'hamiltonien.

Lien avec la représentation de Schrödinger

Dénotons respectivement par et les représentations de Heisenberg et de Schrödinger. L'évolution temporelle du vecteur d'état quantique dans la représentation de Schrödinger est décrite par l'équation de Schrödinger :

Ici, dénote l'opérateur hamiltonien possiblement non-autonome (i.e. admettant une possible dépendance explicite en temps) dans la représentation de Schrödinger. De maniÚre équivalente, cette évolution temporelle peut s'écrire comme :

oĂč est l'opĂ©rateur d'Ă©volution temporelle unitaire correspondant Ă  l'hamiltonien . C'est-Ă -dire :

Supposons qu'au temps le vecteur d'état des deux représentations concorde :

L'espérance quantique au temps d'une observable quantique ne dépend pas de la représentation mathématique choisie. Ce faisant :


On en déduit que la relation entre l'observable et l'observable est :

Ensuite, un calcul direct montre que :

Remarque : Une autre maniĂšre Ă©quivalente utile d'Ă©crire l'Ă©quation de Heisenberg est :

Cette Ă©galitĂ© dĂ©coule du fait que , i.e. les relations de commutations sont les mĂȘmes dans la reprĂ©sentation de Heisenberg et celle de Schrödinger.


Cas particulier : Lorsque est indépendant du temps, on peut écrire plus simplement . Dans ce cas, l'opérateur d'évolution unitaire temporel est simplement :

Dans ce cas, commute avec et donc . On Ă©crit alors plus simplement . Ce faisant :

Ainsi, on Ă©crit plus simplement l'Ă©quation de Heisenberg comme :

Analogie avec la mécanique classique

L'équation d'Heisenberg décrivant l'évolution temporelle d'une observable quantique est :

L'équation d'Hamilton décrivant l'évolution temporelle d'une observable classique en mécanique classique est donné, dans la convention de signe du crochet de Poisson de Landau et Lifschitz [1], par :

En comparant ces deux Ă©quations, on obtient une correspondance entre le commutateur quantique d'observables quantiques et le crochet de Poisson d'observables classiques :

Cette relation, due à Dirac en 1925[2], joue un rÎle primordial dans les méthodes de quantifications, par exemple en quantification géométrique initié par Jean-Marie Souriau ou encore en quantification par déformation de Maxime Kontsevitch[3]. Remarquons au passage que dans le papier original de Dirac en 1925 il utilisait une convention de signe opposée à celle de Landau et Lifschitz pour le crochet de Poisson de sorte qu'il avait plutÎt ceci:

Exemples

Exemple 1 : (mécanique newtonnienne) Dans la représentation de Schrödinger, considérons l'opérateur impulsion et l'opérateur position . Ces deux opérateurs ne dépendent pas explicitement du temps, i.e. et . En se donnant un opérateur hamiltonien , on obtient un opérateur d'évolution temporelle . Les opérateurs impulsion et position sont donnés au temps dans la représentation d'Heisenberg comme :

L'évolution temporelle de et de est donc décrite par l'équation de Heisenberg :

Ces deux équations sont l'analogue quantique des équations d'Hamilton en mécanique classique :

On peut pousser l'analogie encore plus loin avec la mécanique classique en définissant respectivement un opérateur de force ainsi qu'un opérateur de vitesse :

Considérons et et l'opérateur hamiltonien usuel suivant :

Les relations de commutations sont :

on obtient l'analogue quantique de la mécanique newtonnienne classique :


Exemple 2 : (oscillateur harmonique) Considérons l'hamiltonien décrivant un oscillateur harmonique quantique dans la représentation de Schrödinger :

Ici, il est question d'un cas particulier de l'exemple 1 oĂč . Il suit que :

Pour alléger la notation, écrivons plus simplement et de sorte qu'on se retrouve avec un oscillateur harmonique classique :

La solution de cette équation différentielle ordinaire est donnée par :

C'est ainsi que les opérateurs et tournent de maniÚre déterministe sous l'influence de en l'espace des endomorphismes . Si le systÚme quantique est dans un état donné, alors les espérances quantiques et tournent aussi dans le temps :


Exemple 3 : (zitterbewegung) En considérant l'opérateur hamiltonien de l'équation de Dirac :

on trouve le fameux zitterbewegung découvert par Schrödinger en 1930. Les relations de commutations sont :

En utilisant l'équation de Heisenberg, les opérateurs impulsion , position et l'hamiltonien dans la représentation de Heisenberg évoluent comme :

oĂč :

La dérivée temporelle de est donnée par l'équation de Heisenberg :

Puisque et sont constants, on a :

En intégrant on trouve :

oĂč . L'opĂ©rateur vitesse devient donc :

En intégrant on trouve :

Comparaison des représentations

Pour un hamiltonien qui ne dépend pas explicitement du temps, on a :

Représentation :
Heisenberg Interaction Schrödinger
Ket constant
Observable constant
Opérateur d'évolution

Notes et références

  1. (1969) Mechanics (Landau AND Lifshitz), p.95
  2. P.A.M. Dirac, 1925, The fundamental equations of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc. London ser. A, 109, 642-653
  3. M. Kontsevich (2003), Deformation Quantization of Poisson Manifolds, Letters of Mathematical Physics 66, p.157–216
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