Représentation de Heisenberg
En mécanique quantique, la représentation de Heisenberg est une des trois formulations et modes de traitement des problÚmes dépendant du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette représentation, les opérateurs du systÚme évoluent avec le temps alors que le vecteur d'état quantique ne dépend pas du temps.
Remarque : La reprĂ©sentation de Heisenberg ne doit pas ĂȘtre confondue avec la « mĂ©canique des matrices », quelquefois appelĂ©e « mĂ©canique quantique de Heisenberg ».
Généralités
Donnons nous un espace de Hilbert
, un état quantique normé
, une observable quantique
ainsi qu'un opérateur hamiltonien
.
à l'opérateur
correspond une base de vecteurs propres orthonormés
de valeurs propres
:


Dans cette base, le vecteur d'Ă©tat quantique
et l'opérateur quantique
se décomposent comme :


oĂč
.
La probabilité qu'un état propre
soit le résultat de la mesure par
d'un Ă©tat quantique
est
.
Représentation de Heisenberg et représentation de Schrödinger
Supposons maintenant que le systĂšme Ă©volue dans le temps.
Plus précisément, supposons que les
Ă©voluent dans le temps.
L'Ă©quation
indique qu'il y a deux maniÚres équivalentes de décrire l'évolution temporelle du systÚme quantique.
Soit on fait Ă©voluer
soit on fait Ă©voluer
.
C'est-Ă -dire, soit on fait Ă©voluer l'observable
(et donc sa base de vecteurs propres) soit on fait Ă©voluer le vecteur d'Ă©tat
.
Ces deux maniÚres équivalentes de décrire l'évolution temporelle sont respectivement la représentation de Heisenberg et la représentation de Schrödinger.
Dans la représentation de Heisenberg :
- L'Ă©tat
est constant dans le temps
- L'observable
Ă©volue dans le temps selon l'Ă©quation de Heisenberg :
![{\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {A}}\right]+{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}}](https://img.franco.wiki/i/8f429360bf50f330cf386e1d32b1acdcfc93715f.svg)
Dans la représentation de Schrödinger :
- L'Ă©tat
évolue dans le temps selon l'équation de Schrödinger :

- L'observable
peut dépendre explicitement du temps (e.g. un champ magnétique externe dépendant du temps) mais une telle éventuelle dépendance au temps n'a rien à voir avec l'évolution temporelle dictée par l'hamiltonien.
Lien avec la représentation de Schrödinger
DĂ©notons respectivement par
et
les représentations de Heisenberg et de Schrödinger.
L'Ă©volution temporelle du vecteur d'Ă©tat quantique
dans la représentation de Schrödinger est décrite par l'équation de Schrödinger :

Ici,
dénote l'opérateur hamiltonien possiblement non-autonome (i.e. admettant une possible dépendance explicite en temps) dans la représentation de Schrödinger.
De maniĂšre Ă©quivalente, cette Ă©volution temporelle peut s'Ă©crire comme :

oĂč
est l'opérateur d'évolution temporelle unitaire correspondant à l'hamiltonien
.
C'est-Ă -dire :

Supposons qu'au temps
le vecteur d'état des deux représentations concorde :

L'espérance quantique au temps
d'une observable quantique
ne dépend pas de la représentation mathématique choisie.
Ce faisant :
On en déduit que la relation entre l'observable
et l'observable
est :

Ensuite, un calcul direct montre que :
![{\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {A}}_{H}(t)\right]+\left({\frac {\partial {\hat {A}}_{S}(t)}{\partial t}}\right)_{H}}](https://img.franco.wiki/i/a4fc25267e0ce849d4afb4358e0ee9adee4ce975.svg)
DĂ©monstration
Par simplicité, écrivons
,
,
,
,
.
Alors :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\hat {A}}_{H}}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\left(U^{-1}{\hat {A}}_{S}U\right)\\&={\frac {d}{dt}}\left(U^{-1}\right){\hat {A}}_{S}U+U^{-1}\left({\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{S}\right)U+U^{-1}{\hat {A}}_{S}{\frac {d}{dt}}U\\&=-U^{-1}\left({\frac {d}{dt}}U\right)U^{-1}{\hat {A}}_{S}U+U^{-1}\left({\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{S}\right)U+U^{-1}{\hat {A}}_{S}\left({\frac {d}{dt}}U\right)U^{-1}U\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{-1}{\hat {H}}_{S}{\hat {A}}_{S}U+\left({\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{S}\right)_{H}-{\frac {i}{\hbar }}U^{-1}{\hat {A}}_{S}{\hat {H}}_{S}U\\&={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{S},{\hat {A}}_{S}]_{H}+\left({\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{S}\right)_{H}\\&={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{H},{\hat {A}}_{H}]+\left({\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{S}\right)_{H}\end{aligned}}}](https://img.franco.wiki/i/6465e781b0a58b1d79a2d74b264a5ebfbe81bb4c.svg)
Remarque :
Une autre maniĂšre Ă©quivalente utile d'Ă©crire l'Ă©quation de Heisenberg est :
![{\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}=\left({\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{S}(t),{\hat {A}}_{S}(t)\right]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{S}(t)}{\partial t}}\right)_{H}}](https://img.franco.wiki/i/31e47d18975c62848640fd53802966ff6018fe6e.svg)
Cette égalité découle du fait que
, i.e. les relations de commutations sont les mĂȘmes dans la reprĂ©sentation de Heisenberg et celle de Schrödinger.
Cas particulier :
Lorsque
est indépendant du temps, on peut écrire plus simplement
.
Dans ce cas, l'opérateur d'évolution unitaire temporel est simplement :

Dans ce cas,
commute avec
et donc
.
On Ă©crit alors plus simplement
.
Ce faisant :

Ainsi, on Ă©crit plus simplement l'Ă©quation de Heisenberg comme :
![{\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {A}}_{H}(t)\right]+\left({\frac {\partial {\hat {A}}_{S}(t)}{\partial t}}\right)_{H}}](https://img.franco.wiki/i/b7b5963bdcb6279f532912d5c62287d4c7805596.svg)
Analogie avec la mécanique classique
L'équation d'Heisenberg décrivant l'évolution temporelle d'une observable quantique est :
![{\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {A}}\right]+{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}}](https://img.franco.wiki/i/8f429360bf50f330cf386e1d32b1acdcfc93715f.svg)
L'équation d'Hamilton décrivant l'évolution temporelle d'une observable classique
en mécanique classique est donné, dans la convention de signe du crochet de Poisson de Landau et Lifschitz [1], par :

En comparant ces deux Ă©quations, on obtient une correspondance entre le commutateur quantique d'observables quantiques
et le crochet de Poisson d'observables classiques
:
![{\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2}\right]={\widehat {\{f_{1},f_{2}\}}}}](https://img.franco.wiki/i/0746ded61ece10b3f59f6951222a1551d6da1b9d.svg)
Cette relation, due à Dirac en 1925[2], joue un rÎle primordial dans les méthodes de quantifications, par exemple en quantification géométrique initié par Jean-Marie Souriau ou encore en quantification par déformation de Maxime Kontsevitch[3]. Remarquons au passage que dans le papier original de Dirac en 1925 il utilisait une convention de signe opposée à celle de Landau et Lifschitz pour le crochet de Poisson de sorte qu'il avait plutÎt ceci:
![{\displaystyle {\frac {1}{i\hbar }}\left[{\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2}\right]={\widehat {\{f_{1},f_{2}\}}}}](https://img.franco.wiki/i/e678c5561d1d7ce0f1ec4064ca27d3f09115379a.svg)
Exemples
Exemple 1 : (mécanique newtonnienne)
Dans la représentation de Schrödinger, considérons l'opérateur impulsion
et l'opérateur position
.
Ces deux opérateurs ne dépendent pas explicitement du temps, i.e.
et
.
En se donnant un opérateur hamiltonien
, on obtient un opérateur d'évolution temporelle
.
Les opérateurs impulsion et position sont donnés au temps
dans la représentation d'Heisenberg comme :


L'Ă©volution temporelle de
et de
est donc décrite par l'équation de Heisenberg :
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {p}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {p}}_{H}(t)\right]}](https://img.franco.wiki/i/2a15d4c6f3c7f2a50505e08afd98b6aedfd45386.svg)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {q}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {q}}_{H}(t)\right]}](https://img.franco.wiki/i/a0a10331561e8ca9c0a54a3bf51e5e63f0c71ebd.svg)
Ces deux équations sont l'analogue quantique des équations d'Hamilton en mécanique classique :


On peut pousser l'analogie encore plus loin avec la mécanique classique en définissant respectivement un opérateur de force ainsi qu'un opérateur de vitesse :
![{\displaystyle {\hat {F}}_{H}(t):={\frac {d}{dt}}{\hat {p}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {p}}_{H}(t)\right]}](https://img.franco.wiki/i/159f821ebb4c2c6a032040ade50d2b1d7ce3bc83.svg)
![{\displaystyle {\hat {v}}_{H}(t):={\frac {d}{dt}}{\hat {q}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {q}}_{H}(t)\right]}](https://img.franco.wiki/i/28267ae7ec9f3e5b2bb16e50b62550e26348739c.svg)
Considérons
et
et l'opérateur hamiltonien usuel suivant :

Les relations de commutations sont :
![{\displaystyle [{\hat {q}}_{S},{\hat {p}}_{S}]=i\hbar }](https://img.franco.wiki/i/2c4792c2bf6a46f5162d9a4214fe2845c8ff9f9a.svg)
![{\displaystyle [{\hat {H}}_{S},{\hat {q}}_{S}]=-i\hbar {\hat {p}}_{S}/m}](https://img.franco.wiki/i/c16a17b29123fa2ecffac6f02e275b7d0af277b3.svg)
![{\displaystyle [{\hat {H}}_{S},{\hat {p}}_{S}]=i\hbar {\frac {\partial V}{\partial q}}({\hat {q}}_{S},t)}](https://img.franco.wiki/i/12a93fba64d32bd1a7f8b68a496487b1e82e9cba.svg)
on obtient l'analogue quantique de la mécanique newtonnienne classique :


DĂ©monstration
En effet :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {F}}_{H}(t)&={\frac {d}{dt}}{\hat {p}}_{H}(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {p}}_{H}(t)\right]\\&={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{S}(t),{\hat {p}}_{S}(t)\right]_{H}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(i\hbar {\frac {\partial V}{\partial q}}({\hat {q}}_{S},t)\right)_{H}\\&=-{\frac {\partial V}{\partial q}}({\hat {q}}_{H}(t),t)\end{aligned}}}](https://img.franco.wiki/i/53e4851b46e964880840c90d35be2d8c4df090a8.svg)
et :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {v}}_{H}(t)&={\frac {d}{dt}}{\hat {q}}_{H}(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {q}}_{H}(t)\right]\\&={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{S}(t),{\hat {q}}_{S}\right]_{H}\\&={\frac {i}{\hbar }}(-i\hbar {\hat {p}}_{S}/m)_{H}\\&={\hat {p}}_{H}(t)/m\end{aligned}}}](https://img.franco.wiki/i/ce2be4a710c46fa12669b2b3bad4d41f2f14f8d0.svg)
Exemple 2 : (oscillateur harmonique)
Considérons l'hamiltonien décrivant un oscillateur harmonique quantique dans la représentation de Schrödinger :

Ici, il est question d'un cas particulier de l'exemple 1 oĂč
.
Il suit que :


Pour alléger la notation, écrivons plus simplement
et
de sorte qu'on se retrouve avec un oscillateur harmonique classique :


La solution de cette équation différentielle ordinaire est donnée par :

C'est ainsi que les opérateurs
et
tournent de maniÚre déterministe sous l'influence de
en l'espace des endomorphismes
.
Si le systĂšme quantique est dans un Ă©tat
donné, alors les espérances quantiques
et
tournent aussi dans le temps :

Exemple 3 : (zitterbewegung)
En considérant l'opérateur hamiltonien de l'équation de Dirac :

on trouve le fameux zitterbewegung découvert par Schrödinger en 1930.
Les relations de commutations sont :
![{\displaystyle [{\hat {q}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=i\hbar \delta _{jk}}](https://img.franco.wiki/i/1fd0c9199c127c128dad6c917756d278cce1725a.svg)
![{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {p}}_{j}]=0}](https://img.franco.wiki/i/a7b7101ce4099867e0830cb2e1b793e92cfe3dc6.svg)
![{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {q}}_{j}]=-i\hbar c\alpha _{j}}](https://img.franco.wiki/i/b53dfceb4e7a90746d9beaf72ceaa70ea872fdee.svg)
En utilisant l'équation de Heisenberg, les opérateurs impulsion
, position
et l'hamiltonien
dans la représentation de Heisenberg évoluent comme :
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}p_{j}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {p}}_{j}]_{H}=0}](https://img.franco.wiki/i/3ecede0682851c120c486894e4ea5f4881add6ad.svg)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}q_{j}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {q}}_{j}]_{H}=(c\alpha _{j})_{H}=c\alpha _{j}(t)}](https://img.franco.wiki/i/4a1ac1a0e93ea4dff3980532d3c37974c1aefe54.svg)

oĂč :


La dérivée temporelle de
est donnée par l'équation de Heisenberg :
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\alpha _{j}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\alpha _{j}]_{H}={\frac {2i}{\hbar }}(cp_{j}(t)-\alpha _{j}(t)H(t))}](https://img.franco.wiki/i/a87769e853d5ef1083e4d7740010b50f0e812b2d.svg)
Puisque
et
sont constants, on a :

En intégrant
on trouve :

oĂč
.
L'opérateur vitesse devient donc :

En intégrant
on trouve :

Comparaison des représentations
Pour un hamiltonien
qui ne dépend pas explicitement du temps, on a :
|
Représentation :
|
Heisenberg |
Interaction |
Schrödinger |
Ket |
constant |
 |
 |
Observable |
 |
 |
constant |
Opérateur d'évolution |
 |
 |
|
Notes et références
- (1969) Mechanics (Landau AND Lifshitz), p.95
- P.A.M. Dirac, 1925, The fundamental equations of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc. London ser. A, 109, 642-653
- M. Kontsevich (2003), Deformation Quantization of Poisson Manifolds, Letters of Mathematical Physics 66, p.157â216
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