Zitterbewegung

À une observable quantique ${\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {S}}(t)}$ dans la représentation de Schrödinger correspond une observable ${\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {H}}(t)}$ dans la représentation de Heisenberg. Lorsque l'opérateur hamiltonien ${\displaystyle {\hat {H}}}$ est indépendant du temps et lorsque ${\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {H}}(t_{0})={\hat {A}}_{\rm {S}}(t_{0})}$, les observables ${\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {S}}(t)}$ et ${\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {H}}(t)}$ sont reliés comme :

${\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {H}}(t)=e^{i(t-t_{0}){\hat {H}}/\hbar }{\hat {A}}_{\rm {S}}(t)e^{-i(t-t_{0}){\hat {H}}/\hbar }}$

La dérivée dans le temps de ${\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {H}}(t)}$ est donnée par l'équation de Heisenberg :

${\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)\right]+\left({\frac {\partial {\hat {A}}_{\rm {S}}(t)}{\partial t}}\right)_{\rm {H}}}$

Considérons l'équation de Dirac d'une particule libre:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)=\left(mc^{2}\alpha _{0}-i\hbar c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,\right)\psi (\mathbf {x} ,t)}$

Elle peut s'écrire sous forme d'équation de Schrödinger :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)={\hat {H}}\psi (\mathbf {x} ,t)}$

où ${\displaystyle {\hat {H}}}$ est l'opérateur hamiltonien de l'équation de Dirac :

${\displaystyle {\hat {H}}=mc^{2}\alpha _{0}+c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}{\hat {p}}_{j}}$

Les relations de commutations entre les opérateurs d'impulsion, de position, hamiltonien et les ${\displaystyle \alpha _{j}}$ sont :

${\displaystyle [{\hat {q}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=i\hbar \delta _{jk}}$

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {p}}_{j}]=0}$

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {q}}_{j}]=-i\hbar c\alpha _{j}}$

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\alpha }}_{j}]=2(c{\hat {p}}_{j}-\alpha _{j}{\hat {H}})}$

${\displaystyle [{\hat {q}}_{j},{\hat {\alpha }}_{k}]=0}$

${\displaystyle [{\hat {p}}_{j},{\hat {\alpha }}_{k}]=0}$

On passe maintenant à la représentation de Heisenberg en posant :

${\displaystyle p_{j}(t):=({\hat {p}}_{j})_{\rm {H}}}$

${\displaystyle q_{j}(t):=({\hat {q}}_{j})_{\rm {H}}}$

${\displaystyle H(t):=({\hat {H}})_{\rm {H}}}$

${\displaystyle \alpha _{j}(t):=(\alpha _{j})_{\rm {H}}}$

Leur évolution temporelle est donnée par l'équation d'Heisenberg :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}p_{j}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {p}}_{j}]_{\rm {H}}=0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}q_{j}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {q}}_{j}]_{\rm {H}}=(c\alpha _{j})_{\rm {H}}=c\alpha _{j}(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}H(t)=0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\alpha _{j}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\alpha _{j}]_{\rm {H}}={\frac {2i}{\hbar }}(cp_{j}(t)-\alpha _{j}(t)H(t))}$

Puisque ${\displaystyle p_{j}=p_{j}(t)}$ et ${\displaystyle H=H(t)}$ sont constants, on peut écrire plus simplement :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\alpha _{j}(t)={\frac {2i}{\hbar }}(cp_{j}-\alpha _{j}(t)H)}$

En intégrant ${\displaystyle \alpha _{j}(t)}$ on trouve :

${\displaystyle \alpha _{j}(t)=cp_{j}H^{-1}+\left(\alpha _{j}-cp_{j}H^{-1}\right)e^{-2i(t-t_{0})H/\hbar }}$

où ${\displaystyle \alpha _{j}=\alpha _{j}(t_{0})}$. L'opérateur vitesse devient donc :

${\displaystyle v_{j}(t)={\frac {d}{dt}}q_{j}(t)=c\alpha _{j}(t)=c^{2}p_{j}H^{-1}+c\left(\alpha _{j}-cp_{j}H^{-1}\right)e^{-2i(t-t_{0})H/\hbar }}$

En intégrant ${\displaystyle v_{j}(t)}$ on trouve :

${\displaystyle q_{j}(t)=q_{j}(t_{0})+(t-t_{0})c^{2}p_{j}H^{-1}+{\frac {i\hbar c}{2}}\left(\alpha _{j}-cp_{j}H^{-1}\right)H^{-1}\left(e^{-2i(t-t_{0})H/\hbar }-1\right)}$

L'opérateur vitesse :

${\displaystyle {\vec {v}}(t)=c^{2}{\vec {p}}H^{-1}+c\left({\vec {\alpha }}-c{\vec {p}}H^{-1}\right)e^{-2i(t-t_{0})H/\hbar }}$

se décompose en deux composantes : une composante constante :

${\displaystyle c^{2}{\vec {p}}H^{-1}}$

et une composante oscillatoire :

${\displaystyle c\left({\vec {\alpha }}-c{\vec {p}}H^{-1}\right)e^{-2i(t-t_{0})H/\hbar }}$

Ce mouvement oscillatoire est ce qu'on appelle le Zitterbewegung. La fréquence angulaire de cette oscillation est ${\displaystyle \omega =2E/\hbar }$. Autrement dit, on trouve l'énergie propre du mode fondamental d'un oscillateur harmonique quantique :

${\displaystyle E={\frac {\hbar \omega }{2}}}$

En utilisant l'égalité ${\displaystyle E=mc^{2}}$, on trouve en particulier une longueur d'onde :

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi c}{\omega }}={\frac {1}{2}}{\frac {h}{mc}}={\frac {\lambda _{\rm {C}}}{2}}}$

où ${\displaystyle \lambda _{\rm {C}}=h/mc}$ est la longueur d'onde de Compton.

L'interprétation de ce résultat a donné lieu à l'explication de plusieurs phénomènes[1] - [2].

• (en) Die Zitterbewegungs-Interpretation der Quanten-Mechanik, eine alternative Erklärung über die Interferenz der positiven und negativen Energiezustände hinaus.