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Sous-variété lagrangienne

Les sous-variétés lagrangiennes sont l'analogue en géométrie symplectique des sous-espaces lagrangiens en algèbre linéaire.

Sous-fibré lagrangien

Une forme symplectique sur un fibré vectoriel est une section en tout point non dégénérée du fibré . Un sous-fibré vectoriel de est dit lagrangien lorsque les fibres sont des sous-espaces vectoriels lagrangiens des fibres , i.e. :

Exemple : Si est un fibré vectoriel réel, alors est naturellement muni d'une forme symplectique donnée par :

Le fibré est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique .

Sous-variétés lagrangiennes

Si est une sous-variété différentielle de , le fibré tangent se restreint sur en un fibré de rang .

Une sous-variété d'une variété symplectique est dite lagrangienne lorsque le fibré vectoriel est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique .

Exemples :

  • Toute courbe d'une surface munie d'une forme d'aire en est une sous-variété lagrangienne.
  • Soit une variété différentielle. Considérons la forme de Liouville sur . Si est une forme différentielle sur , son graphe , est une sous-variété lagrangienne de ssi est fermée.

Voir aussi

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