Cône de lumière

Un référentiel inertiel étant choisi, considérons deux événements séparés dans l'espace par la distance ${\displaystyle \Delta l={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}\,}$ et dans le temps par l'intervalle de temps ${\displaystyle \Delta t\,}$. En relativité (restreinte ou générale), ces deux quantités ne sont pas invariantes par changement de référentiel.

En revanche, en relativité restreinte, la quantité (notée formellement avec un carré) ${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}\,}$ est invariante par changement de référentiel, il en est de même pour son signe[note 1].

En particulier, en fixant un événement noté ${\displaystyle e_{0}}$, on classe chaque événement de l'espace-temps en fonction du signe[note 2] de l'intervalle d'espace-temps qui le sépare de ${\displaystyle e_{0}}$. Le signe de l'intervalle d'espace temps étant invariant par changement de référentiel, cette classification est indépendante de l'observateur et de son référentiel.

Les événements séparés par un intervalle ${\displaystyle \Delta s^{2}\,}$ tel que ${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,0\,}$ sont ceux qui sont à une distance spatiale ${\displaystyle \Delta l\,}$ et une distance temporelle ${\displaystyle \Delta t\,}$ de ${\displaystyle e_{0}}$ telles que ${\displaystyle \Delta l/\Delta t\,=\,c\,}$. C'est-à-dire que ces événements ne peuvent être joints depuis ${\displaystyle e_{0}}$ que par un message ou influence allant à la vitesse de la lumière[1]. De plus, l'égalité ${\displaystyle \ l/t=c}$ est l'équation du bord à trois dimensions d'un cône de révolution dans un espace à quatre dimensions.

D'où le nom de cône de lumière.

Les événements séparés par un intervalle ${\displaystyle \Delta s^{2}\,}$ tel que ${\displaystyle \Delta s^{2}>0\,}$ sont ceux qui sont à une distance spatiale ${\displaystyle \Delta l\,}$ et une distance temporelle ${\displaystyle \Delta t\,}$ de ${\displaystyle e_{0}}$ telles que ${\displaystyle \Delta l/\Delta t<c\,}$. C'est-à-dire que ces événements peuvent être joints depuis ${\displaystyle e_{0}}$ par un message ou influence allant à la vitesse strictement inférieure à celle de la lumière : c'est a priori réaliste. Ainsi, il peut y avoir une relation de causalité entre ${\displaystyle e_{0}}$ et l'un quelconque de ces événements[1]. De plus, l'égalité ${\displaystyle l/t<c}$ est l'inéquation de l'intérieur à quatre dimensions d'un cône dans un espace à quatre dimensions.

La partie supérieure de l'intérieur du cône contient tous les événements futurs que l'on peut joindre à partir de ${\displaystyle e_{0}}$.

La partie inférieure de l'intérieur du cône contient tous les événements passés à partir desquels on pouvait joindre ${\displaystyle e_{0}}$.

Ainsi, si ${\displaystyle e_{0}}$ correspond à un événement cosmologique, tel qu'une supernova, tous les événements ${\displaystyle e_{T}}$ sur Terre précédant la vision de cette supernova sont situés à l'extérieur du cône. Ceux où cette supernova est visible sont situés au bord du cône, et à partir de là cette supernova est susceptible d'influer des événements sur Terre (tels que faire orienter des télescopes dans sa direction voire modifier des théories cosmologiques...), lesquels sont situés à l’intérieur supérieur du cône.

Les événements séparés par un intervalle ${\displaystyle \Delta s^{2}\,}$ tel que ${\displaystyle \Delta s^{2}\,<\,0\,}$ sont ceux qui sont à une distance spatiale ${\displaystyle \Delta l\,}$ et une distance temporelle ${\displaystyle \Delta t\,}$ de ${\displaystyle e_{0}}$ telles que ${\displaystyle \Delta l/\Delta t\,>\,c\,}$. C'est-à-dire que ces événements ne peuvent être joints depuis ${\displaystyle e_{0}}$, car la vitesse de tout message ou influence est strictement inférieure à celle de la lumière en relativité restreinte : la jonction n'est pas réaliste.

Les événements qui sont dans cet extérieur du cône sont dits ailleurs par rapport à ${\displaystyle e_{0}}$ et ne peuvent être en relation causale directe avec lui[1].

De plus, l'égalité ${\displaystyle \,l/t>c}$ est l'inéquation de l'extérieur à quatre dimensions d'un cône dans un espace à quatre dimensions.