Métrique de Poincaré

Une métrique sur le plan complexe peut généralement s'exprimer sous la forme :

${\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dz\,d{\overline {z}}}$

où λ est une fonction réelle positive de ${\displaystyle z}$ et ${\displaystyle {\overline {z}}}$. La longueur de la courbe γ dans le plan complexe (pour cette métrique) est alors donné par :${\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|}$

L'aire d'un sous-ensemble du plan complexe (suffisamment régulier) est donnée par :

${\displaystyle {\text{Aire }}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}\,dz\wedge d{\overline {z}}}$,

où ${\displaystyle \wedge }$ est le produit extérieur (définissant en général la forme volume). Le déterminant de la métrique est égal à ${\displaystyle \lambda ^{4}}$, sa racine carrée est donc ${\displaystyle \lambda ^{2}}$. L'aire élémentaire déterminée par la métrique est ${\displaystyle dx\wedge dy}$ et donc

${\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-i\,dy)=-2i\,dx\wedge dy.}$

Une fonction ${\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})}$ est dite potentiel métrique si

${\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}$

L'opérateur de Laplace-Beltrami est donné par :

${\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}$

La courbure gaussienne de la métrique est donnée par

${\displaystyle K=-\Delta \log \lambda .\,}$

Cette courbure est la moitié de la courbure scalaire de Ricci.

Les isométries conservent les angles et les longueurs d'arcs. Sur une surface de Riemann, les isométries sont équivalentes à un changement de coordonnées ; ainsi, l'opérateur de Laplace-Beltrami et les courbures sont tous invariants par isométrie. Ainsi, par exemple, si S est une surface de Riemann de métrique ${\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dz\,d{\overline {z}}}$ et T est une surface de Riemann de métrique ${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}}$, alors la transformation :

${\displaystyle f:S\to T\,}$

avec ${\displaystyle f=w(z)}$ est une isométrie si et seulement si elle est conforme et si

${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})}$.

Ici, demander que la transformation soit conforme revient à exiger :

${\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}$

c'est-à-dire,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}$

Le tenseur métrique de Poincaré dans le demi-plan de Poincaré, demi-plan supérieur ${\displaystyle \mathbb {H} }$ correspondant aux complexes de partie imaginaire positive, est donné par

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{y^{2}}}}$

en posant ${\displaystyle dz=dx+i\,dy.}$ Ce tenseur métrique est invariant sous l'action de SL(2,R). Autrement dit, notant

${\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}}}$

avec ${\displaystyle ad-bc=1}$, il s'avère que

${\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}}}$

et

${\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}}.}$

Les éléments infinitésimaux se transforment ainsi :

${\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}}}$

et donc

${\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}}$

ce qui montre l'invariance du tenseur métrique sous l'action du groupe SL(2,R). L'élément d'aire invariant est donné par

${\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}$

La métrique est

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}}}$

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}}$

pour ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }$. Une autre forme intéressante de la métrique fait intervenir le birapport. Étant donnés quatre points ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$, ${\displaystyle z_{3}}$ et ${\displaystyle z_{4}}$ sur la sphère de Riemann ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty }$ (le plan complexe auquel on ajoute un point à l'infini), le birapport de ces points est défini par

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}.}$

La métrique peut alors s'écrire

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times }).}$

Ici, ${\displaystyle z_{1}^{\times }}$ et ${\displaystyle z_{2}^{\times }}$ sont les extrémités (sur l'axe des réels) de la géodésique reliant ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle z_{2}}$, numérotés de telle sorte que ${\displaystyle z_{1}}$ soit situé entre ${\displaystyle z_{1}^{\times }}$ et ${\displaystyle z_{2}}$.

Les géodésiques pour cette métrique sont les arcs de cercles perpendiculaires à l'axe des réels, c'est-à-dire des demi-cercles centrés sur cet axe, et les demi-droites perpendiculaires à cet axe.

Le demi-plan supérieur est en bijection conforme avec le disque unité par l'intermédiaire de la transformation de Möbius

${\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}}}$

où w est le point du disque unité correspondant au point z du demi-plan. La constante z₀ peut être n'importe quel point du demi-plan, qui sera envoyé sur le centre du disque. L'axe des réels ${\displaystyle \Im z=0}$ a pour image le cercle unité ${\displaystyle |w|=1.}$ (à l'exception du point 1, image du point à l'infini). La constante réelle ${\displaystyle \phi }$ correspond à une rotation du disque.

L'application canonique

${\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}$

(voir l'article Transformation de Cayley) envoie i sur l'origine (le centre du disque), et 0 sur le point -i.

Le tenseur métrique de Poincaré dans le disque de Poincaré est donné sur le disque unité ouvert ${\displaystyle U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<1\}}$ par

${\displaystyle ds^{2}=4{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}=4{\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

L'élément d'aire est donné par

${\displaystyle d\mu ={\frac {4dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {4dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}},}$

et la distance entre deux points ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in U}$ par

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|}$.

Les géodésiques sont des arcs de cercles orthogonaux (en leurs extrémités) au cercle unité frontière du disque.

J-invariant dans les coordonnées du disque épointé.

J-invariant dans les coordonnées du disque de Poincaré ; on remarquera que ce disque est tourné de 90° par rapport aux coordonnées canoniques données dans le corps de l'article

Une application importante définie sur le demi-plan est l'application appliquant le demi-plan ${\displaystyle \mathbb {H} }$ sur le disque épointé ${\displaystyle \{z:0<|z|<1\}}$ via la fonction exponentielle

${\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )}$.

Dans la théorie des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, la variable q est le nome (en) et τ le demi-rapport des périodes.

La métrique de Poincaré du demi-plan induit une métrique sur le q-disque

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dq\,d{\overline {q}}}$,

dont le potentiel est

${\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}}$.

La métrique de Poincaré est une application contractante sur les fonctions harmoniques. Ce résultat est une généralisation du lemme de Schwarz, appelée le théorème de Schwarz-Alhfors-Pick (en).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Poincaré metric » (voir la liste des auteurs).

• (en) Hershel M. Farkas et Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. (ISBN 0-387-90465-4).
• (en) Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. (ISBN 3-540-43299-X) (Voir section 2.3).
• (en) Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago (ISBN 0-226-42583-5) (Une introduction simple et lisible.)