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Transformation de Cayley

En mathématiques, la transformation de Cayley, nommée d'aprÚs Arthur Cayley, possÚde différentes significations voisines. La définition originale est celle d'une application entre les matrices antisymétriques et les matrices de rotation. En analyse complexe, la transformation de Cayley est une application conforme envoyant le demi-plan complexe supérieur sur le disque unité. Enfin, dans la théorie des espaces de Hilbert, c'est une application entre opérateurs linéaires.

Motivation

La transformation de Möbius est une involution de (ou de la sphÚre de Riemann, en ajoutant les valeurs et ) ; on peut envisager de la généraliser à un anneau unitaire A, puisque si est inversible, son inverse commute avec , donc avec ; le cas des matrices s'avÚre avoir une signification géométrique importante.

Transformation matricielle

Si A est une matrice carrĂ©e n×n (Ă  coefficients rĂ©els ou complexes) telle que I + A soit inversible (oĂč I dĂ©signe la matrice identitĂ© d'ordre n) — autrement dit : telle que –1 ne soit pas valeur propre de A — alors la matrice

c'est-Ă -dire[1] Ac = (I – A)(I + A)−1, ou encore Ac = (I + A)−1(I – A), vĂ©rifie

.

La transformation de Cayley, M ↩ Mc, est donc une involution de l'ensemble des matrices M telles que I + M soit inversible, c'est-à-dire que

.

Si A est une matrice rĂ©elle et antisymĂ©trique (c'est-Ă -dire telle que AT = −A), alors I + A est inversible et Q := Ac est une matrice orthogonale dont −1 n'est pas valeur propre, ce qui exclut les matrices orthogonales de dĂ©terminant –1 ainsi que certaines matrices de rotation. RĂ©ciproquement, si Q est une matrice orthogonale n'ayant pas −1 pour valeur propre, alors Qc est une matrice antisymĂ©trique dont −1 n'est pas valeur propre.

Plus gĂ©nĂ©ralement, si A est une matrice complexe antihermitienne alors I + A est inversible et Q := Ac est une matrice unitaire dont −1 n'est pas valeur propre, et rĂ©ciproquement.

On rencontre parfois une forme légÚrement différente, demandant deux applications distinctes, et n'utilisant pas la notation « c » en exposant :

.

Exemples

  • On a .
  • Dans le cas 2×2, on a . La matrice de rotation d'un demi-tour, −I, est exclue, mĂȘme si elle est obtenue comme limite lorsque tan ξ⁄2 tend vers l'infini.
  • Dans le cas 3×3, on a,oĂč K = w2 + x2 + y2 + z2, et oĂč w = 1. On reconnaĂźt la matrice de rotation correspondant au quaternion (formule que Cayley avait publiĂ©e l'annĂ©e prĂ©cĂ©dente), si ce n'est qu'elle est normalisĂ©e pour que w = 1 au lieu de la condition usuelle w2 + x2 + y2 + z2 = 1. Ainsi, le vecteur (x,y,z) est le vecteur unitaire de l'axe de rotation multipliĂ© par tan ξ⁄2. Les rotations d'un demi-tour sont Ă  nouveau exclues ; dans ce cas, il s'agit des matrices Q qui sont symĂ©triques.

Autres matrices

Lorsqu'on passe des matrices réelles aux matrices complexes, la transposition est remplacée par la transconjugaison (·H). Cela revient à remplacer le produit scalaire réel standard par le produit scalaire complexe. En fait, on peut généraliser davantage en prenant d'autres choix de matrice adjointe ; la définition ne demande en effet que l'inversibilité de I + M.

Application conforme

La transformation de Cayley du demi-plan supérieur vers le disque unité.

En analyse complexe, la transformation de Cayley est une fonction du plan complexe sur lui-mĂȘme, donnĂ©e par : C'est une fonction homographique, qui peut ĂȘtre prolongĂ©e en un automorphisme de la sphĂšre de Riemann (le plan complexe augmentĂ© d'un point Ă  l'infini). On remarquera en particulier que

  • W est une application conforme du demi-plan supĂ©rieur ouvert de C, sur le disque unitĂ© ouvert de C, .
  • W est une injection de la droite rĂ©elle dans le cercle unitĂ© T (les nombres complexes de module 1) ; l'image de R est T privĂ© de 1.
  • W est une bijection de la demi-droite des imaginaires i [0, ∞[ sur l'intervalle semi-ouvert [−1, +1[.
  • W envoie 0 sur −1, −1 vers i, le point Ă  l'infini vers 1 et −i vers le point Ă  l'infini (W possĂšde un pĂŽle simple en −i)
  • W laisse invariant 1⁄2(−1 + √3)(−1 + i) et 1⁄2(1 + √3)(1 − i).

La fonction réciproque de la transformation de Cayley peut s'écrire (en dehors des points à l'infini) sous la forme .

Application entre opérateurs

En dimension infinie, les espaces euclidiens sont remplacés par des espaces de Hilbert, et on ne peut plus parler de matrices. Cependant, il reste possible de généraliser la transformation de Cayley aux opérateurs linéaires :

, oĂč le domaine de U, dom U, est (A+iI) dom A. L'article endomorphisme autoadjoint donne plus de dĂ©tails[2].

Voir aussi

Notes

  1. L'ordre des facteurs n'importe pas. En effet, l'inverse de B := I + A commute avec B donc avec 2I – B = I – A.
  2. Pour la construction de tels endomorphismes utilisant la transformation de Cayley, se référer à l'article correspondant de la wikipédia anglophone(en).

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Cayley transform » (voir la liste des auteurs).



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