Transformation de Cayley

• On a ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-a&ab-c\\0&0&-b\\0&0&0\end{pmatrix}}\leftrightarrow {\begin{pmatrix}1&2a&2c\\0&1&2b\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.
• Dans le cas 2×2, on a ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{pmatrix}}\leftrightarrow {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$. La matrice de rotation d'un demi-tour, −I, est exclue, même si elle est obtenue comme limite lorsque tan ^θ⁄₂ tend vers l'infini.
• Dans le cas 3×3, on a${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{pmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{pmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}}$,où K = w² + x² + y² + z², et où w = 1. On reconnaît la matrice de rotation correspondant au quaternion ${\displaystyle w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z}$ (formule que Cayley avait publiée l'année précédente), si ce n'est qu'elle est normalisée pour que w = 1 au lieu de la condition usuelle w² + x² + y² + z² = 1. Ainsi, le vecteur (x,y,z) est le vecteur unitaire de l'axe de rotation multiplié par tan ^θ⁄₂. Les rotations d'un demi-tour sont à nouveau exclues ; dans ce cas, il s'agit des matrices Q qui sont symétriques.

Lorsqu'on passe des matrices réelles aux matrices complexes, la transposition est remplacée par la transconjugaison (·^H). Cela revient à remplacer le produit scalaire réel standard par le produit scalaire complexe. En fait, on peut généraliser davantage en prenant d'autres choix de matrice adjointe ; la définition ne demande en effet que l'inversibilité de I + M.