Paradoxe de la flèche

Une flèche lancée est toujours immobile : en effet, tout corps est soit en mouvement soit en repos quand il se trouve dans un espace égal à son volume ; or la flèche se trouve à chaque instant dans un espace égal à son volume[1].

Imaginons une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Si l'instant est trop court, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Maintenant, pendant les instants suivants, elle va rester immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut pas se déplacer : le mouvement est impossible.

Ce paradoxe traduit toute la difficulté conceptuelle liée à la notion de vitesse instantanée. Toute vitesse nécessite d'associer un déplacement à un intervalle de temps. Si cet intervalle de temps est nul, il ne peut y avoir de déplacement, ce qui rend apparemment impossible le calcul d'une vitesse.

Au-delà de sa signification mathématique, ce paradoxe renferme de profondes interrogations physiques et métaphysiques sur la nature du mouvement. La physique classique, et en particulier la mécanique analytique, a répondu à ces interrogations en introduisant le concept de quantité de mouvement et invariance par translation dans l'espace, affranchie de la position et du temps.

Il est intéressant de remarquer qu'avec la mécanique quantique, le paradoxe de la flèche a retrouvé une certaine pertinence suivant le principe d'incertitude ou l'impossibilité de connaître simultanément la position et la vitesse d'une particule.

Par ailleurs, les unités de Planck permettent de contourner le paradoxe en évitant les infinis, en sorte de permettre la mesure de la quantité de mouvement. En effet, la mécanique lagrangienne sous-jacente imposait arbitrairement un principe de moindre action pour justifier la stabilité de la relation entre l'énergie, l'espace et le temps. Le principe de moindre action utilise l'hypothèse de deux points fixes sur le parcours du mobile : un point de départ, mais aussi un point d'arrivée. Cela a souvent été critiqué comme étant l'utilisation dans le raisonnement d'une cause finale, ce qui est contraire à la causalité qui suit la flèche du temps en physique. En fait, si le point de départ est doté de conditions initiales (coordonnées et vitesse), le point d'arrivée n'a pas de coordonnées précises ni de vitesse imposée : il existe, c'est tout. L'attribution arbitraire du point final dans le raisonnement permet d'émettre l'hypothèse de l'existence d'un trajet à partir de l'état initial et de déterminer ses conditions (équations d'Euler-Lagrange).

Une formulation rigoureuse du paradoxe enfin a d'ailleurs été appelée effet quantique de Zénon, qui s'applique à une observable quantique quelconque, et qui consiste à dire que lorsqu'on effectue N mesures de cette observable dans un intervalle de temps t, la probabilité de trouver un système dans le même état après cet intervalle de temps, tend vers 1 lorsque N tend vers l'infini.

Dans Le Cimetière Marin, Paul Valéry fait référence au paradoxe de la flèche, ainsi qu'à un second paradoxe de Zénon, le paradoxe d'Achille et de la tortue :

"Zénon! Cruel Zénon! Zénon d'Elée

M'as-tu percé de cette flèche ailée

Qui vibre, vole, et qui ne vole pas!

Le son m'enfante et la flèche me tue!

Ah! le soleil... quelle ombre de tortue

Pour l'âme, Achille immobile à grands pas!"