Théorème de Charkovski

Avant de l'exposer, nous devons d'abord définir l'ordre de Charkovski.

L'ordre de Charkovski est une relation d'ordre ${\displaystyle \triangleleft }$ définie sur les entiers strictement positifs de la façon suivante :

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccc}&3&\triangleleft &5&\triangleleft &7&\triangleleft &9&\triangleleft &11&\triangleleft \ldots \triangleleft &(2n+1)\cdot 2^{0}&\triangleleft \ldots \\\triangleleft &3\cdot 2&\triangleleft &5\cdot 2&\triangleleft &7\cdot 2&\triangleleft &9\cdot 2&\triangleleft &11\cdot 2&\triangleleft \ldots \triangleleft &(2n+1)\cdot 2^{1}&\triangleleft \ldots \\\triangleleft &3\cdot 2^{2}&\triangleleft &5\cdot 2^{2}&\triangleleft &7\cdot 2^{2}&\triangleleft &9\cdot 2^{2}&\triangleleft &11\cdot 2^{2}&\triangleleft \ldots \triangleleft &(2n+1)\cdot 2^{2}&\triangleleft \ldots \\\triangleleft &3\cdot 2^{3}&\triangleleft &5\cdot 2^{3}&\triangleleft &7\cdot 2^{3}&\triangleleft &9\cdot 2^{3}&\triangleleft &11\cdot 2^{3}&\triangleleft \ldots \triangleleft &(2n+1)\cdot 2^{3}&\triangleleft \ldots \\&\vdots \\\ldots \triangleleft &2^{n}&\triangleleft \ldots \triangleleft &2^{4}&\triangleleft &2^{3}&\triangleleft &2^{2}&\triangleleft &2&\triangleleft &1.\end{array}}}$

Autrement dit, on place d'abord les impairs à partir de 3 par ordre croissant, puis les impairs multipliés par 2, puis par 4, etc. (c.-à-d. qu'on range les entiers non puissances de 2 par ordre lexicographique en comparant en priorité leur 2-valuation) et l'on termine par les puissances de 2 par ordre décroissant.

Le théorème de Charkovski s'énonce alors comme suit :

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction continue sur un intervalle ${\displaystyle I}$, à valeurs dans ${\displaystyle I}$. Si ${\displaystyle f}$ admet un point périodique de période ${\displaystyle n}$, alors pour tout ${\displaystyle m}$ succédant à ${\displaystyle n}$ dans l'ordre de Charkovski, ${\displaystyle f}$ admet un point périodique de période ${\displaystyle m}$ .

${\displaystyle x}$ est un point périodique de période ${\displaystyle n}$ si ${\displaystyle f\circ f\cdots \circ f(x)=x}$ où ${\displaystyle f}$ apparaît ${\displaystyle n}$ fois, et où ${\displaystyle n}$ est le plus petit entier vérifiant cette propriété. Ainsi, si ${\displaystyle f}$ admet un point périodique de période 3, alors ${\displaystyle f}$ admet des points périodiques de n'importe quelle période.

Ce théorème admet une réciproque : pour tout entier r > 0, on peut exhiber une fonction admettant des points de période r mais aucun point de période strictement inférieure à r pour l'ordre de Charkovski.

• Suite logistique
• Théorème des valeurs intermédiaires

• http://denisfeldmann.fr/PDF/sarkovski.pdf : une démonstration courte.

• (en) B. S. Du, « A simple proof of Sharkovsky's theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 111,‎ 2004, p. 595-599.
• (en) B. S. Du, « A simple proof of Sharkovsky's theorem revisited », Amer. Math. Monthly, vol. 114,‎ 2007, p. 152-155.
• (en) S. Elaydi, « On a converse of Sharkovsky's theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 103,‎ 1996, p. 386-392 (lire en ligne).
• (en) T. Li et J. Yorke, « Period three implies chaos », Amer. Math. Monthly, vol. 82,‎ 1975, p. 985-992.
• (en) A. N. Sharkovsky, « Coexistence of cycles of a continuous map of a line into itself », International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 5,‎ 1995, p. 1263-1273 (DOI 10.1142/S0218127495000934), traduction de l'article initial paru en russe dans Ukrain. Math. Zh., vol. 16, 1964, p. 61-71.