Prédiction dynamique

Le principe fondamental de toute prédiction, c’est le déterminisme, c’est que l’avenir est déterminé par le passé. Si on veut prédire l’avenir, il faut observer le présent et connaître des lois qui déterminent l’avenir en fonction de son passé.

La théorie des systèmes dynamiques introduit des hypothèses supplémentaires :

1. le déterminisme est complet, l’avenir est écrit d’avance, il est complètement déterminé par son passé ;
2. l’état présent du système détermine à la fois ses états futurs et ses états passés.

La première hypothèse très audacieuse. Si le déterminisme était complet, alors chacune de nos actions, chacun de nos actes ainsi que la totalité des interactions de cet univers, impliqueraient qu'une connaissance omnisciente déterminée par le calcul de la position dans l'univers, de chaque particule à un moment donné, détermine son état prochain par la projection future de ses interactions avec son environnement, si tant est que ces interactions sont théorisables et obéissent à une certaine logique de fonctionnement, une manière de se comporter qui soit logique, quantifiable, démontrable, mais à cela s'ajoute plusieurs problèmes : nous sommes actuellement incapables de définir ni la nature de l'univers, ni du temps si l'on prend l'idée d'un univers logique constitué de lois théoriques quantifiables, qu'en est-il des idées, théories, expériences de pensée défiant la logique et servant à définir une réalité indéfinissable, la dualité quantique, la décohérence ? tout ceci est bien sûr subjectif et propre à notre esprit, mais si nous parvenons à élaborer des idées absurdes ou impossibles, celles-ci ont elles une existence physique démontrable puisqu'elles sont bien conçues, imaginées, par un système physique, en l'occurrence nous-mêmes ? Il s'agit donc aussi de comprendre la nature même de la conscience.

Comment déterminer dans une dimension où le temps n'existerait pas? la conscience serait elle la seule réalité absolue ? générons nous nous-même ce déterminisme de par notre existence? Qu'en est-il alors du reste de l'univers ? serait il conscient ? notre expérience de tous les jours nous montre qu'une pierre n'est pas plus consciente qu'un paquet de chips, mais pris de manière globale, à l'échelle de l'univers, ne sommes-nous que les interactions macroscopiques d'un système quantique à plus grande échelle ? La décohérence serait-elle une sorte de barrière d'état empêchant les multiples déterminismes de s'intriquer, notre univers est-il une poupée russe s'imbriquant à l'infini et générant par lui-même sa propre existence ?

. Pourtant toutes les grandes théories fondamentales de la physique l’ont adopté, à la suite de Newton, sauf la mécanique quantique, qui l’accepte et la rejette en même temps, l’équation de Schrödinger étant complètement déterministe mais pas le principe de Bohr. Dans l’usage courant, on ne distingue pas comme ici déterminisme et déterminisme complet, le déterminisme est toujours complet.

La seconde hypothèse permet à la théorie des systèmes dynamiques peut donc être appliquée à la fois à la prédiction et à la connaissance du passé. On parle de rétrodiction.

Pour appliquer la prédiction dynamique, il faut connaître avec précision à la fois l’état présent du système et sa loi du mouvement, ainsi :

• l’état du système est déterminé par un certain nombre de variables d’état, ou variables dynamiques, qui sont en général modélisés par des nombres réels ;
• la loi du mouvement est en général modélisée par une équation différentielle ordinaire ou une équation aux dérivées partielles qui permet de calculer les états ultérieurs du système à partir de son état présent.

Si le temps est représenté d’une façon discrète (t, t+1, t+2…) alors la loi du mouvement est déterminée par une fonction f de E dans E, ou E est l’espace des états dynamiques. Si le système est dans l’état x à l’instant t, il sera dans les états f(x), f(f(x)) et ainsi de suite, aux instants suivants.

La prédiction dynamique a une portée universelle mais elle n’est pas la seule façon de faire des prédictions. Heureusement sinon notre capacité à prédire serait très limitée. L’autre façon de prédire, c’est l’usage ordinaire de la raison, qu’on peut appeler aussi le raisonnement prédictif, la prédiction rationnelle ou l’exercice de la raison positive. Positif est ici associé à la capacité à prédire des conséquences observables. La prédiction rationnelle est la technique de prédiction la plus puissante, beaucoup plus puissante que la prédiction dynamique, pour une raison simple, la souplesse d’adaptation au problème posé.

L’une des raisons de la puissance est parfois la légèreté. Un simple raisonnement peut prouver beaucoup plus que mille heures de calculs sur le plus gros ordinateur. Pour être léger, il ne faut pas chercher à obtenir plus qu’il n'est nécessaire. De ce point de vue la prédiction dynamique est beaucoup trop lourde. En général on n’a pas besoin de prédire exactement l’état dynamique du système, on veut seulement savoir si tout va bien marcher.

De façon générale, on peut diviser l’ensemble des états futurs du système en deux parties. La première partie contient tous les états pour lesquels les fonctions requises sont satisfaites, la seconde, tous les autres. La séparation entre les deux parties est la limite entre le succès et l’échec. Pour les prédictions, les études de fiabilité par exemple, on n’a en général pas besoin de connaître exactement l’état futur du système. On veut seulement savoir qu’il sera à l’intérieur de l’ensemble des succès. On n’exige pas du système qu’il soit complètement prévisible. On veut seulement une connaissance partielle. On accepte de ne pas tout savoir avec exactitude. En contrepartie, on peut faire des prédictions à beaucoup plus long terme. Il est même possible qu’un jour on soit capable de savoir comment l’univers finira. La sensibilité aux conditions initiales est l’un des obstacles majeurs de la prédiction dynamique, mais pour la prédiction rationnelle elle n’est pas forcément un problème. L’économie des fins recherchées fait donc de la raison prédictive un outil plus léger, plus efficace, mieux adapté aux prédictions vraiment intéressantes, que l’artillerie lourde de la prédiction dynamique.

La prédiction rationnelle permet d’adapter son point de vue au problème posé. On cherche des lois prédictives en fonction de ce que l’on veut prédire. Cette facilité d’adaptation est la principale raison de la puissance de la raison. Le raisonnement est le bon outil pour prédire l’avenir des systèmes complexes parce qu’il s’adapte avec souplesse aux problèmes posés

De façon générale une loi prédictive détermine des conditions et un résultat : si les conditions sont observées alors le résultat le sera aussi. Comme condition et comme résultat on peut envisager tout ce qui est dicible. On a donc une grande variété de possibilités.

Les conditions d’une loi prédictive délimitent une région de l’espace des états dynamiques, l’ensemble des états pour lesquels les conditions sont satisfaites. On peut l’appeler l’ensemble des points de départ. Le résultat délimite de même l’ensemble des états pour lesquels il a été obtenu. On peut l’appeler l’ensemble des points d’arrivée de la loi prédictive. Définissons par commodité la notion d’atteinte : une région B de l’espace des états dynamiques est atteinte par une région A lorsque toutes les trajectoires qui passent par A passent ensuite par au moins un point, un état de B. Une loi prédictive est vraie lorsque l’ensemble de ses points d’arrivée est atteint par l’ensemble de ses points de départ. Un système est prédictible quand on peut trouver des résultats et des conditions tels que les premiers soient atteints par les seconds.

On peut considérer que la prédiction dynamique est un cas très particulier de prédiction rationnelle pour lequel les seules lois prédictives sont les lois du mouvement.

Il y a une large classe de systèmes pour lesquels la prédiction dynamique peut parfois être appliquée au long terme : les systèmes dissipatifs.

Pour les physiciens, un système dissipatif est le plus souvent un système qui dissipe de l’énergie. Dans les cas les plus simples, le système finit par perdre toute son énergie disponible et il rejoint un état de repos. Dans des cas plus compliqués, le système est entretenu, il dissipe son énergie mais il ne cesse pas d’en recevoir et son mouvement ne s’arrête jamais. L’atmosphère de la Terre est un système dissipatif de ce type.

Lorsqu’un système est dissipatif sa dynamique présente un phénomène de réduction progressive. Un exemple peut aider à comprendre cela. Soit un pendule simple, c’est-à-dire une petite masse pendue au bout d’une ficelle attachée à un point fixe. Quelle que soit la façon dont on lance le pendule, position et vitesse initiales, il finit toujours par retourner à son état de repos, pour lequel la ficelle est immobile et verticale. Une région très petite de l’espace des états dynamiques, le point qui définit l’état de repos, est atteinte par une région très grande, tous les états de lancement du pendule. L’état de repos est ici un attracteur pour le pendule. L’espace des états de lancement est son bassin d’attraction.

De façon générale, pour qu’une région A de l’espace des états soit un attracteur pour une région B qui est son bassin d’attraction, il y a deux conditions :

• toutes les trajectoires qui passent par B arrivent dans A ou se rapprochent indéfiniment de A,
• A est beaucoup plus petit que B.

Ce phénomène de réduction est très général. Dans de nombreux cas, on sait que les conditions initiales n’ont pas d’influence sur le résultat : quoiqu’on fasse, cela ne change rien au bout du compte.

Une trajectoire est un attracteur lorsque toutes les trajectoires pas trop éloignées convergent vers elle.

La notion d’attracteur est proche de celles de désir et de volonté. C’est d’ailleurs pour cela qu’elle a été appelée ainsi. Un système a souvent l’air attiré par son attracteur. Dans les cas heureux on atteint ce qu’on désire pour une grande diversité de conditions initiales.

Les systèmes dissipatifs ont des attracteurs. Au premier abord, on pourrait croire que lorsqu’un système a un attracteur, il est prévisible sur le long terme, que la possession d’un attracteur est incompatible avec la sensibilité aux conditions initiales, mais cela est faux. On sait qu’il y a des systèmes dissipatifs chaotiques, c’est-à-dire sensibles aux conditions initiales. Les attracteurs des systèmes chaotiques sont étranges. Ils contiennent toujours des trajectoires qui reviennent sans arrêt très près de leur point de départ et qui s’en écartent ensuite de multiples façons, sans jamais reproduire les mêmes mouvements. C’est pourquoi ces systèmes sont imprévisibles. Même quand on sait qu’ils sont sur leur attracteur, on ne sait pas exactement sur quel point d’une trajectoire attractrice ils sont à cet instant. On sait souvent qu’ils sont sur une trajectoire connue et calculable, mais leur avenir n’est pas prédictible parce que la trajectoire est très chaotique et qu’on ne sait pas où ils en sont de leur errance programmée. La théorie du chaos n’est pas une théorie du hasard mais de l’égarement déterminé.

Au point de vue de la prévisibilité les attracteurs sont très intéressants lorsqu’ils ne sont pas étranges : les états et les mouvements stables. Un train qui roule sur des rails est un bon exemple de mouvement stable. Le train ne quitte pas les rails quelles que soient les perturbations, si elles ne sont pas trop grandes. Les êtres vivants mettent à profit de nombreux mécanismes pour assurer la constance de leur état intérieur malgré les variations des conditions extérieures. Claude Bernard a introduit le nom d’homéostasie pour désigner cette forme de stabilité. C.H. Waddington a de même introduit le nom d’homéorhésie pour désigner la stabilité du développement embryonnaire.

Lorsqu’il y a des effets de stabilisation du mouvement, on peut atteindre des cibles très éloignées. Un tireur d’élite atteint au mieux sa cible à quelques kilomètres. Mais si on stabilisait le mouvement de la balle, si on la mettait sur des rails par exemple, alors il n’y aurait plus de limites. Cela explique toute l’importance de la notion d’attracteur pour la prédictibilité. Un monde prédictible est un monde ordonné où beaucoup de choses sont comme sur des rails.

• Prévision numérique du temps
• Système dynamique
• Théorie du chaos
• Complexité
• Fiabilité
• Déduction naturelle
• Prédiction de branchement
• Prédiction de trajectoire