Dimension homologique

• Soit ${\displaystyle M}$ un R-module. La suite exacte${\displaystyle \longrightarrow ...\longrightarrow E_{n}\longrightarrow ...\longrightarrow E_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$est appelée une résolution gauche de ${\displaystyle M}$. Si pour tout ${\displaystyle i}$, le module ${\displaystyle E_{i}}$ est projectif (respectivement plat, libre), cette résolution est dite projective (resp. plate, libre). Si ${\displaystyle E_{n}\neq 0}$ et ${\displaystyle E_{i}=0}$ pour tout ${\displaystyle i>n}$, cette résolution est dite de longueur ${\displaystyle n}$. S'il n'existe pas de tel entier ${\displaystyle n}$, cette résolution est dite de longueur infinie.
• La suite exacte${\displaystyle \longleftarrow ...\longleftarrow E^{n}\longleftarrow ...\longleftarrow E^{0}\longleftarrow M\longleftarrow 0}$est appelée une résolution droite de ${\displaystyle M}$. Si pour tout ${\displaystyle i}$, le module ${\displaystyle E^{n}}$ est injectif, cette résolution est dite injective. On définit comme plus haut la longueur d'une résolution injective.
• Tout R-module ${\displaystyle M}$ admet des résolutions libres, et donc des résolutions projectives et plates. Tout R-module ${\displaystyle M}$ admet également des résolutions injectives[3].

• Dans ce qui suit, ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ et l'on prend pour convention que pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle -\infty <n<+\infty }$, ${\displaystyle -\infty +n=-\infty }$ et ${\displaystyle +\infty +n=+\infty }$.
• Soit ${\displaystyle M}$ un R-module à gauche. Sa dimension projective (resp. injective, plate), notée ${\displaystyle dp_{R}\left(M\right)}$ (resp. ${\displaystyle di_{R}\left(M\right),df_{R}\left(M\right)}$[4]) est la borne inférieure dans ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}}$ des longueurs des résolutions projectives (resp. injectives, plates) de ${\displaystyle M}$.
• On a ${\displaystyle dp_{R}\left(0\right)=di_{R}\left(0\right)=df_{R}\left(0\right)=-\infty }$.
• Pour que ${\displaystyle M}$ soit projectif (resp. injectif, plat) il faut et il suffit que ${\displaystyle dp_{R}\left(M\right)\leq 0}$ (resp. ${\displaystyle di_{R}\left(M\right)\leq 0,df_{R}\left(M\right)\leq 0}$).

Nous ne revenons pas ici sur la dimension de Krull.

• On a ${\displaystyle dg(0)=dgf(0)=-\infty }$.
• On a ${\displaystyle dgf\left(R\right)\leq dgg\left(R\right)}$ avec égalité si R est noethérien à gauche.
• Si R est noethérien, on a ${\displaystyle dgf(R)=dgg(R)=dgd(R)=dg(R)}$.
• Soit ${\displaystyle A}$ un anneau commutatif ; alors ${\displaystyle dg(A\left[X\right])=dg(A)+1}$ (théorème des syzygies de Hilbert). Par conséquent, si ${\displaystyle K}$ est un corps commutatif (ou, plus généralement, un anneau commutatif semi-simple), ${\displaystyle dg(K\left[X_{1},...,X_{n}\right])=n}$[11].
• Soit R un anneau commutatif, ${\displaystyle S\subset R}$ un ensemble multiplicatif ne contenant pas de diviseurs de zéro et ${\displaystyle T}$ le localisé ${\displaystyle S^{-1}R}$. On a ${\displaystyle dg(T)\leq dg(R)}$ et ${\displaystyle dgf(T)\leq dgf(R)}$[12].
• Un anneau d'Ore R est un anneau de Dedekind qui n'est pas un corps si, et seulement si ${\displaystyle dg(R)=1.}$[5]
• Un anneau commutatif intègre R est un anneau de Prüfer (en) si, et seulement si ${\displaystyle dgf(R)\leq 1}$[13].
• Un anneau de Bézout commutatif R qui n'est pas principal est un anneau de Prüfer[14], et vérifie donc ${\displaystyle dgf(R)\leq 1}$. En revanche, il n'est pas noethérien, donc n'est pas un anneau de Dedekind, et par suite ${\displaystyle dg(R)>1}$.

• Un anneau R est dit régulier à gauche si tout R-module à gauche de type fini admet une résolution finie. On définit de même un anneau régulier à droite, et un anneau est dit régulier[15] s'il est régulier à gauche et à droite[16] - [17].
• Si ${\displaystyle dgg(R)<+\infty }$, R est évidemment régulier à gauche, mais Nagata a donné en 1962 l'exemple d'un anneau commutatif régulier noethérien de dimension globale infinie[18].
• Si R est un anneau commutatif régulier, alors tout localisé ${\displaystyle T=S^{-1}R}$ de R est régulier. Si R est régulier et noethérien, alors il en va de même de ${\displaystyle R\left[X_{1},...,X_{n}\right]}$[19].
• Soit R un anneau de Bézout à gauche. Tout R-module à gauche de type fini est de présentation finie, donc R est régulier à gauche[20].