Anneau de Dedekind non commutatif

On appelle héréditaire (en) à gauche un anneau dont tous les idéaux à gauche sont projectifs[4]. On définit de même un anneau héréditaire à droite. Un anneau héréditaire est un anneau héréditaire à gauche qui est héréditaire à droite.

Les anneaux héréditaires à gauche sont ceux dont la dimension globale à gauche est inférieure ou égale à 1.

Un anneau de Dedekind à gauche est un anneau d'Ore à gauche qui est héréditaire à gauche (ou, de manière équivalente, qui est tel que tous ses idéaux à gauche non nuls sont inversibles). On définit de même un anneau de Dedekind à droite, et un anneau de Dedekind est un anneau de Dedekind à gauche qui est un anneau de Dedekind à droite[1].

D'après ce qui précède, un anneau de Dedekind à gauche est noethérien à gauche (et un anneau de Dedekind est noethérien). Plus précisément, dans un anneau de Dedekind un idéal à gauche ou à droite est engendré par 2 éléments[1]. Un anneau principal à gauche est un anneau de Dedekind à gauche.

Cette définition d'un anneau de Dedekind est bien entendu valide dans le cas commutatif[5] et équivaut alors[6] à la définition classique due à Emmy Noether (anneau commutatif intègre noethérien, intégralement clos dans lequel tout idéal premier non nul est maximal: voir l'article Anneau de Dedekind).

Soit l'anneau des opérateurs différentiels de la forme

${\displaystyle a_{0}\left(t\right){\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{1}\left(t\right){\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+...+a_{n}\left(t\right)}$.

où les ${\displaystyle a_{i}\left(t\right)}$ sont des polynômes en ${\displaystyle t}$ à coefficients dans le corps ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Cet anneau, isomorphe à la première algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{1}\left(k\right)}$, est un anneau de Dedekind simple.

Plus généralement, soit ${\displaystyle A}$ un anneau, ${\displaystyle \alpha :a\mapsto a^{\alpha }}$ un endomorphisme de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle \delta :A\rightarrow A:a\mapsto a^{\delta }}$ une application additive. Cette application ${\displaystyle \delta }$ est appelée une ${\displaystyle \alpha }$-dérivation si l'on a l'identité ${\displaystyle \left(ab\right)^{\delta }=a^{\alpha }b^{\delta }+a^{\delta }b}$. Lorsque ${\displaystyle \alpha =1_{A}}$, cette identité n'est autre que la règle de Leibniz et une telle dérivation est dite extérieure. Si ${\displaystyle A}$ est, par exemple, l'anneau des polynômes en ${\displaystyle t}$ à coefficients dans le corps ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$, on peut aussi considérer l'opérateur d'avance ${\displaystyle \alpha :a\left(t\right)\mapsto a\left(t+1\right)}$ et l'opérateur aux différences ${\displaystyle \delta =\alpha -1}$ (la dérivation est cette fois intérieure, car de la forme ${\displaystyle a^{\delta }=a^{\alpha }b-ba}$; une dérivation extérieure est une dérivation qui n'est pas intérieure)[7].

De manière générale, on appelle polynôme tordu à gauche d'indéterminée ${\displaystyle X}$ à coefficients dans ${\displaystyle A}$ muni de l'${\displaystyle \alpha }$-dérivation ${\displaystyle \delta }$ un élément de la forme

${\displaystyle f\left(X\right)=f_{0}X^{n}+f_{1}X^{n-1}...+f_{n}}$

où les ${\displaystyle f_{i}}$ appartiennent à ${\displaystyle A}$ et où l'on a la règle de commutation ${\displaystyle Xa=a^{\alpha }X+a^{\delta }}$ pour tout a\in ${\displaystyle A}$. Un polynôme tordu à droite est un élément de la forme

${\displaystyle g\left(X\right)=X^{n}g_{0}+X^{n-1}g_{1}...+g_{n}}$.

L'ensemble des polynômes tordus à gauche (resp. à droite) est noté ${\displaystyle A[X;\alpha ,\delta ]_{l}}$ (resp. ${\displaystyle A[X;\alpha ,\delta ]_{r}}$). Ces deux ensembles sont des groupes abéliens et ${\displaystyle A[X;\alpha ,\delta ]_{l}}$ est un anneau. De plus, si ${\displaystyle \alpha }$ est un automorphisme, ces deux ensembles coïncident et sont notés ${\displaystyle A[X;\alpha ,\delta ]}$. Si ${\displaystyle A=k[t]}$ et ${\displaystyle \alpha =1_{A}}$, on retrouve à un isomorphisme près l'algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{1}\left(k\right)}$[7].

Soit ${\displaystyle A}$ un anneau de Dedekind commutatif qui est une ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-algèbre et ${\displaystyle \alpha }$ un automorphisme de ${\displaystyle A}$. On montre que les conditions suivantes sont équivalentes[1]:

(1) ${\displaystyle R=A[X;\alpha ,\delta ]}$ est un anneau de Dedekind.

(2) ${\displaystyle R}$ est simple.

(3) ${\displaystyle A}$ n'a pas d'idéal propre non nul stable par ${\displaystyle \delta }$ et ${\displaystyle \delta }$ est une dérivation extérieure.

Soit de nouveau ${\displaystyle A}$ un anneau de Dedekind commutatif et ${\displaystyle \delta }$ une dérivation intérieure, de la forme ${\displaystyle a^{\delta }=a^{\alpha }b-ba}$ où ${\displaystyle \alpha }$ est un automorphisme de ${\displaystyle A}$. On peut faire le changement d'indéterminée ${\displaystyle Y=X+b}$ et considérer l'anneau de polynômes gauche ${\displaystyle R=A[Y;\alpha ]=A[X;\alpha ,\delta ]}$. On a alors la règle de commutation ${\displaystyle Ya=a^{\alpha }Y}$. Soit ${\displaystyle S=\left\{Y^{n}:n\geq 0\right\}}$; ${\displaystyle T=S^{-1}A\left[Y;\alpha \right]}$ est le localisé de ${\displaystyle R}$ à ${\displaystyle S}$ et cet anneau est appelé l'anneau des polynômes de Laurent tordus, et noté ${\displaystyle T=A\left[Y,Y^{-1};\alpha \right]}$. On montre que les conditions suivantes sont équivalentes[1]:

(1') ${\displaystyle T}$ est un anneau de Dedekind.

(2') ${\displaystyle T}$ est simple.

(3') ${\displaystyle A}$ n'a pas d'idéal propre non nul stable par ${\displaystyle \alpha }$ et aucune puissance de ${\displaystyle \alpha }$ n'est un automorphisme intérieur de ${\displaystyle A}$, i.e. de la forme ${\displaystyle a\mapsto u^{-1}au}$ où ${\displaystyle u}$ est une unité de ${\displaystyle A}$.

• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitres 5 à 7, Springer, 2006, 352 p. (ISBN 978-3-540-33941-0)
• (en) Henri Cartan et Samuel Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, 1956, 405 p. (ISBN 978-0-691-04991-5)
• (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations (2nd ed.), Londres, Academic Press, 1985, 595 p. (ISBN 978-0-12-179152-0, BNF 37359190)
• (en) Enzo R. Gentile, « On Rings with One-Sided Field of Quotients », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 11, n^o 3,‎ 1960, p. 380-384 (lire en ligne)
• (en) John C. McConnell et James C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, 2001, 636 p. (ISBN 978-0-8218-2169-5, présentation en ligne)