Anneau intégralement clos

Soit A un anneau intègre à PGCD.

Soit ${\displaystyle P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}$ un polynôme unitaire (c'est-à-dire que ${\displaystyle a_{n}=1}$) à coefficients dans A et x un élément du corps des fractions de A. Cet élément x peut s'écrire p/q, où p et q sont des éléments de A premiers entre eux.

Si x est une racine de P alors

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}\left({\dfrac {p}{q}}\right)^{i}=0}$

puis en multipliant par ${\displaystyle q^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}q^{n-i}=0}$

Puisque, pour tout i < n, q divise ${\displaystyle a_{i}p^{i}q^{n-i}}$, on en déduit que q divise aussi ${\displaystyle a_{n}p^{n}=p^{n}}$. Or q et p sont premiers entre eux ; d'après le lemme de Gauss, q doit alors diviser 1, autrement dit q est inversible dans A, donc l'élément x = p/q appartient à A.