Problème aux limites

Dans le cas des équations aux dérivées partielles, de nombreux problèmes entrent à la fois dans le cadre des problèmes de Cauchy du point de vue d'une variable, dans le cadre des problèmes aux limites par rapport à une autre variable. Par exemple :

• l'équation d'une corde vibrante, de la forme ${\displaystyle {\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}={1 \over v^{2}}{\partial ^{2}y \over \partial t^{2}}}$, où t est une variable de temps, x désigne les abscisses des points de la corde, et y leur ordonnée dont on cherche la variation en fonction de x et t, s'accompagne d'une condition initiale, donnée par y(x,t = 0)=f(x) et d'une condition aux limites, la stabilité des deux points extrêmes de la corde, donnée par y(a ,t) = y(b,t)=0 si le domaine de définition est l'intervalle [a,b] ;
• l'équation de la chaleur, de la forme ${\displaystyle {\partial T(x,t) \over \partial t}={\frac {\partial ^{2}T(x,t)}{\partial x^{2}}}}$, où t est une variable de temps, x un paramètre réel pour une barre dans laquelle est étudiée une diffusion de chaleur, et T la chaleur dans cette barre en fonction de t et x, s'accompagne d'une condition initiale sur la chaleur dans la barre de la forme T(x,0)=f(x), et d'une condition aux limites qui peut prendre plusieurs formes, la plus simple étant de considérer que les extrémités de la barre sont maintenues à température constante, ce qui impose une condition du type T(a ,t) = T(b ,t) = 0 si le domaine de définition est l'intervalle [a,b].

La similarité des conditions aux limites de ces deux problèmes ne doit pas conduire à les assimiler, les équations aux dérivées partielles qui les gouvernent se rangeant dans deux catégories bien distinctes : l'une est une équation hyperbolique, l'autre une équation parabolique.

Exemple simple

Un premier exemple de problème aux limites est l'équation différentielle du second ordre

${\displaystyle \forall x\in [0,\pi /2],\ y''(x)+y(x)=0}$

pour laquelle on ne dispose pas de conditions initiales mais des valeurs aux bords de l'intervalle de définition :

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

La résolution de l'équation différentielle amène à chercher une solution de la forme

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

où A et B sont deux réels à déterminer. En appliquant les deux conditions aux bords, on a

${\displaystyle y(0)=0=A\cdot 0+B\cdot 1,\ y(\pi /2)=2=A\cdot 1+B\cdot 0}$

On a ainsi A = 2, B =0. La solution est bien définie de façon unique et vaut :

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

Il existe plusieurs types de conditions aux limites permettant de bien poser un problème différentiel :

• condition aux limites de Dirichlet : imposer la valeur de la solution aux bords du domaine
• condition aux limites de Neumann : imposer la valeur de la dérivée de la solution aux bords du domaine
• condition aux limites de Robin : imposer la valeur de la solution aux bords du domaine comme une équation différentielle d'ordre 1
• condition aux limites mixte : imposer plusieurs types sur différentes sous-parties du bord
• condition aux limites de Cauchy : imposer une double condition Dirichlet/Neumann

• Erreur off-by-one, (« erreur de décalage unitaire »), une erreur logique impliquant l'équivalent discret d'un problème aux limites.
• Fonction de Green
• Théorie de Sturm-Liouville