Cohomologie de Čech

On se place dans un site et on considère un schéma X. La cohomologie de Čech à coefficients dans un faisceau ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est donnée par la limite inductive

${\displaystyle {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

où ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ parcourt les recouvrements de X donnés par la topologie, ordonnés par raffinement.

Il ne reste alors plus qu'à définir la cohomologie de Čech sur un recouvrement ouvert donné ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i}\right\}_{i\in I}}$ localement fini, c'est-à-dire donner les cocycles et cobords correspondants. Le groupe des k-cochaînes est défini par :

${\displaystyle {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})=\bigoplus _{i_{0}<\cdots <i_{k}}{\mathcal {F}}\left(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{k}}\right)}$

En d'autres termes, une k-cochaîne de Čech est une fonction ${\displaystyle \alpha }$ définie sur les k-faces du nerf du recouvrement, telle que les valeurs prises sur les ouverts qui le constituent sont dans ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i_{0}}\cup \cdots \cup U_{i_{k}})}$.

L'opérateur de cobord ${\displaystyle \mathrm {d}$ :{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})} est défini par :

${\displaystyle \mathrm {d} \alpha \left(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{k}}\right)=\sum _{j=0}^{k+1}(-1)^{j}\alpha \left(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{j-1}}\cap U_{i_{j+1}}\cap \cdots \cap U_{i_{k}}\right)}$

On vérifie notamment que ${\displaystyle \mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0}$.

On peut alors définir les groupes de k-cobords et de k-cocycles de la manière classique :

${\displaystyle {\check {B}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})=\mathrm {im} \left(\mathrm {d}$ :{\check {C}}^{k-1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\right)}

${\displaystyle {\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})=\mathrm {ker} \left(\mathrm {d}$ :{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\right)}

et le k-ième groupe de cohomologie de Čech est défini comme leur quotient :

${\displaystyle {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})={\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})/{\check {B}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

• Alexandru Dimca, Sheaves in topology, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Universitext », 2004, 236 p. (ISBN 978-3-540-20665-1, MR 2050072, lire en ligne)