Finesse (aérodynamique)

Courbes montrant les trainée induite, parasite ainsi que la trainée combinée par rapport à la vitesse de l'air

On va montrer qu'un aéronef atteint sa finesse maximale lorsque la traînée induite est égale à la traînée parasite.

La traînée parasite ${\displaystyle R_{\mathrm {p} }}$ causée par la résistance de l'air peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=qSC_{x,\mathrm {p} }}$

où ${\displaystyle C_{xp}}$ est le coefficient de traînée parasite et on a ${\displaystyle C_{xp}=cte}$. Soit ${\displaystyle b}$ l'envergure de l'aile et ${\displaystyle c}$ sa corde moyenne (~ largeur moyenne de l'aile). ${\displaystyle q={1 \over 2}\rho V^{2}}$ est la pression dynamique.

On pose ${\displaystyle \lambda ={b \over c}}$ l'allongement de l'aile. On rappelle que ${\displaystyle S={b^{2} \over \lambda }}$

On note ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique de l'air. On obtient :

${\displaystyle R_{\mathrm {p} }={1 \over 2}\rho V^{2}SC_{x,\mathrm {p} }={1 \over 2}{\rho b^{2}V^{2}C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }}$

La traînée induite ${\displaystyle R_{\mathrm {i} }}$ s'exprime comme suit :

${\displaystyle R_{\mathrm {i} }=2{F_{z}^{2} \over b^{2}\rho V^{2}\pi e}={1 \over 2}\rho V^{2}SC_{x,\mathrm {i} }}$ avec ${\displaystyle C_{x,\mathrm {i} }={C_{z}^{2} \over \lambda \pi e}}$

où ${\displaystyle F_{z}}$ est la portance, ${\displaystyle V}$ est la vitesse de l'aéronef et ${\displaystyle e}$ est le coefficient d'Oswald. Cette dernière formule provient de la théorie des profils minces.

Lorsqu'un avion ou planeur est en vol, la traînée induite ${\displaystyle R_{\mathrm {i} }(V)}$ et la traînée parasite ${\displaystyle R_{\mathrm {p} }(V)}$ s'ajoutent et constituent la traînée totale :

${\displaystyle R(V)={1 \over 2}\rho V^{2}SC_{x}}$ avec ${\displaystyle C_{x}=C_{x,\mathrm {p} }+C_{x,\mathrm {i} }}$

Pour ne pas alourdir les calculs avec des racines carrés dans la suite on exprimera non pas la finesse ${\displaystyle f}$, mais la finesse au carré et on a alors :

${\displaystyle f^{2}={C_{z}^{2} \over C_{x}^{2}}={\lambda \pi eC_{x,\mathrm {i} } \over C_{x}^{2}}={\lambda \pi e}{C_{x}-C_{x,\mathrm {p} } \over C_{x}^{2}}}$

On dérive par rapport à ${\displaystyle C_{x}}$ :

${\displaystyle 2f{df \over dC_{x}}=\lambda \pi e{-C_{x}^{2}+2C_{x,\mathrm {p} }C_{x} \over C_{x}^{4}}}$

Pour que ${\displaystyle f}$ soit maximale il faut que ${\displaystyle {df \over dC_{x}}=0}$ ce qui revient ici à déterminer les racines d'un polynôme du second degré en ${\displaystyle C_{x}}$.

On obtient donc que ${\displaystyle f_{\mathrm {max} }}$ est atteinte quand ${\displaystyle {C_{x}=2C_{x,\mathrm {p} }}}$ c'est-à-dire :

${\displaystyle C_{x,\mathrm {p} }=C_{x,\mathrm {i} }}$ et donc ${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=R_{\mathrm {i} }}$

Ce qui signifie que la traînée induite est égale à la traînée parasite.

Tout ce qui suit appliqué aux planeurs a été présenté dans l'ouvrage de Frank Irving The Paths of Soaring Flight[7].

Dans les cours d'aérodynamique pour pilotes, il est souvent affirmé sans justification que la traînée induite est proportionnelle à 1/V² et que la traînée parasite est proportionnelle à V². Dans ces conditions, la démonstration du théorème ci-dessus devient triviale qui est alors un simple corollaire des postulats énoncés ci-dessus. Dans ce qui suit, les postulats vont être démontrés et l'on va en conclure le théorème ci-dessus.

Les planeurs ont des angles de plané qui sont très petits et l'on peut donc supposer que ${\displaystyle F_{z}=mg}$

La traînée induite ${\displaystyle R_{\mathrm {i} }}$ s'exprime comme suit :

${\displaystyle R_{i}=2{F_{z}^{2} \over b^{2}\rho V^{2}\pi e}=2{m^{2}g^{2} \over b^{2}\rho V^{2}\pi e}}$

La traînée parasite ${\displaystyle R_{\mathrm {p} }}$ causée par la résistance de l'air peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle R_{\mathrm {p} }={1 \over 2}\rho V^{2}SC_{x,\mathrm {p} }={1 \over 2}{\rho b^{2}V^{2}C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }}$

Lorsqu'un planeur est en vol, la traînée induite ${\displaystyle R_{\mathrm {i} }(V)}$ et la traînée parasite ${\displaystyle R_{\mathrm {p} }(V)}$ s'ajoutent et constituent la traînée totale R(V). La finesse d'un planeur sera optimale lorsque la traînée totale R(V) est minimale. On résout donc l'équation

${\displaystyle {\mathrm {d} R(V) \over \mathrm {d} V}=0}$

On définit ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ tels que ${\displaystyle \alpha ={1 \over 2}{\rho b^{2}C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }}$ et ${\displaystyle \beta ={2m^{2}g^{2} \over b^{2}\rho \pi e}}$. On peut écrire symboliquement :

${\displaystyle R_{\mathrm {p} }(V)=\alpha V^{2}\qquad R_{\mathrm {i} }(V)={\beta \over V^{2}}}$

Après avoir calculé la dérivée de R(V), on résout donc :

${\displaystyle 2\alpha V-2{\beta \over V^{3}}=0}$

Et donc en multipliant la relation ci-dessus par V, on obtient :

${\displaystyle \alpha V^{2}={\beta \over V^{2}}}$

ce qui signifie que la traînée induite est égale à la traînée parasite.

On pose ${\displaystyle \alpha ={1 \over 2}{\rho b^{2}C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }}$ et ${\displaystyle \beta ={2F_{z}^{2} \over b^{2}\rho \pi e}}$. On a alors :

${\displaystyle R_{p}(V)=\alpha V^{2}\qquad R_{i}(V)={\beta \over V^{2}}}$

Le planeur atteindra sa finesse maximale en air calme lorsque la traînée induite sera égale à la traînée parasite, c'est-à-dire[8] :

${\displaystyle \alpha V^{2}={\beta \over V^{2}}}$

${\displaystyle V_{f}=\left({\beta \over \alpha }\right)^{1 \over 4}={{\sqrt {2}} \over (\pi e)^{1 \over 4}b}\times {\sqrt {F_{z} \over \rho }}\times \left({\lambda \over C_{x,\mathrm {p} }}\right)^{1 \over 4}}$

Si l'on connaît la vitesse à laquelle la finesse maximale est connue, on peut en déduire le coefficient de traînée parasite et le coefficient d'Oswald. Ces coefficients valent :

${\displaystyle C_{x,\mathrm {p} }={P \over f\rho V_{f}^{2}}}$

${\displaystyle e={4fP \over \pi \lambda \rho V_{f}^{2}}}$

P est la charge alaire et λ est l'allongement de l'aile.

Schéma des forces appliquées sur un planeur en vol rectiligne uniforme.

Un planeur n'a pas de moteur ; il est « propulsé » par la composante sur trajectoire de son propre poids[Note 1] (voir le schéma ci-contre).

Soit f(V) la finesse du planeur défini par le rapport de la vitesse horizontale à la vitesse verticale. Soit ${\displaystyle \gamma }$ l'angle de plané en radians. Comme ${\displaystyle \gamma }$ est petit, on peut écrire que ${\displaystyle \gamma \approx \tan \gamma }$ et donc que :

${\displaystyle \gamma \approx {1 \over f(V)}}$

Quand le planeur est en équilibre, en mouvement non accéléré, on a :

${\displaystyle R(V)=\tan(\gamma F_{z})\approx \gamma F_{z}}$

De plus, la finesse maximale est une caractéristique de l'aéronef et est donc constante (tant que les caractéristiques de l'aéronef sont inchangées).

Dans ce qui suit, on démontre cette assertion qui ne semble pas évidente. On rappelle que lorsque la planeur atteint sa finesse maximale la traînée induite est égale à la traînée parasite. On obtient donc :

${\displaystyle \gamma ={R_{i}(V)+R_{p}(V) \over F_{z}}={2R_{p}(V) \over F_{z}}={\rho C_{x,\mathrm {p} }b^{2}V^{2} \over \lambda F_{z}}={\rho C_{x,\mathrm {p} }b^{2} \over \lambda F_{z}}\times \left({{\sqrt {2}} \over (\pi e)^{1 \over 4}b}\times {\sqrt {F_{z} \over \rho }}\times \left({\lambda \over C_{x,\mathrm {p} }}\right)^{1 \over 4}\right)^{2}}$

Et donc :

${\displaystyle \gamma =2{\sqrt {C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda \pi e}}}$

Et donc :

${\displaystyle {1 \over \gamma }=f={1 \over 2}{\sqrt {\lambda \pi e \over C_{x,\mathrm {p} }}}}$

Comme annoncé ci-dessus, la finesse maximale ne dépend pas de la masse du planeur et ni de la densité de l'air environnant. Elle dépend uniquement de l'aérodynamisme du planeur et de sa géométrie (allongement) : la finesse maximale est une caractéristique de l'aéronef et est donc constante. Ceci justifie a posteriori que la vitesse de chute du planeur augmentera en même temps que sa masse. Donc, lorsque les conditions aérologiques sont moins favorables[Note 2], il est préférable de minimiser la masse du planeur pour minimiser la vitesse de chute et donc de ne pas ajouter d'eau dans les ailes ou, si l'on est déjà en vol, de vidanger les ailes.

De plus, plus ${\displaystyle \lambda }$ est grand, plus ${\displaystyle \gamma \approx \tan \gamma }$ sera petit. Donc, les planeurs ayant des grandes ailes, pour une surface alaire équivalente, aura un plus petit angle de plané et donc une plus grande finesse. Ceci est la raison pour laquelle certains planeurs de compétition en classe libre peuvent avoir jusqu'à 30 mètres d'envergure.

Cette section suppose que l'aéronef a une finesse suffisante pour que l'on puisse supposer que ${\displaystyle \gamma \approx \tan \gamma }$.

On considère un planeur de masse ${\displaystyle m}$ volant à sa vitesse de finesse maximale ${\displaystyle V_{1}}$. Le poids du planeur est donné par ${\displaystyle \cos \gamma F_{z}=mg}$. Pour simplifier la discussion, on suppose que ${\displaystyle \cos \gamma \approx 1}$. On a donc :

${\displaystyle C_{x,\mathrm {p} }={4 \over \lambda \pi e}~{m^{2}g^{2} \over \rho ^{2}S^{2}{V_{1}}^{4}}}$

On considère maintenant le même planeur auquel on a ajouté de l'eau et qui a une masse ${\displaystyle M}$ et une vitesse de finesse maximale ${\displaystyle V_{2}}$. On a alors :

${\displaystyle {4 \over \lambda \pi e}~{m^{2}g^{2} \over \rho ^{2}S^{2}{V_{1}}^{4}}=C_{x,\mathrm {p} }={4 \over \lambda \pi e}~{M^{2}g^{2} \over \rho ^{2}S^{2}{V_{2}}^{4}}}$

Donc,

${\displaystyle {m^{2} \over {V_{1}}^{4}}={M^{2} \over {V_{2}}^{4}}}$

Donc,

${\displaystyle \left({V_{2} \over V_{1}}\right)^{4}=\left({M \over m}\right)^{2}}$

et donc :

${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}={\sqrt {M \over m}}}$.

On constate que la vitesse optimale varie donc comme la racine carrée de la masse du planeur.

En augmentant la masse, on augmente donc aussi la vitesse de finesse maximale mais la valeur de la finesse maximale elle reste constante. La finesse maximale étant indépendante de la masse de l'aéronef, ceci signifie que le même planeur auquel on ajoute de l'eau aura la même portée, mais volera plus vite pour maintenir la même portée. C'est pourquoi lorsque les conditions météorologiques sont très favorables (puissantes ascendances), les planeurs de compétition sont remplis d'eau dans les ailes.

La polaire des vitesses peut se mettre sous la forme[9] :

${\displaystyle V_{z}=AV^{3}+B{1 \over V}}$

où A et B sont des constantes à déterminer[Note 3].

On évalue maintenant la vitesse de chute en fonction de la vitesse horizontale pour n'importe quelle vitesse. On a :

${\displaystyle \tan \gamma ={R_{i}(V)+R_{p}(V) \over F_{z}}={2F_{z} \over b^{2}\rho V^{2}\pi e}+{\rho C_{x,\mathrm {p} }b^{2}V^{2} \over 2\lambda F_{z}}}$

La polaire des vitesses exprime la vitesse de chute ${\displaystyle V_{z}}$ en fonction de la vitesse horizontale. Etant donné que ${\displaystyle \gamma }$ est très petit, on a : ${\displaystyle \tan \gamma \approx \gamma }$

On peut donc considérer que ${\displaystyle V_{z}=\gamma V}$. Donc,

${\displaystyle V_{z}=\left({2F_{z} \over b^{2}\rho V^{2}\pi e}+{\rho C_{x,\mathrm {p} }b^{2}V^{2} \over 2\lambda F_{z}}\right)V}$

Cette formule exprime la polaire des vitesses. On constate que pour ${\displaystyle V}$ grand, la finesse décroît comme le carré de la vitesse horizontale.

On notera que ${\displaystyle {F_{z}\lambda \over b^{2}}}$ est la charge alaire qui est souvent exprimée en daN/m² ou plus incorrectement en kgf/m². Si l'on appelle P cette charge alaire (qui est homogène à une pression), on obtient :

${\displaystyle V_{z}=\left({P \over \rho V^{2}\lambda \pi e}+{\rho C_{x,\mathrm {p} }V^{2} \over 2P}\right)V}$

et donc :

${\displaystyle A={\rho C_{x,\mathrm {p} } \over 2P}\qquad B={P \over \rho \lambda \pi e}}$

On a :

${\displaystyle V_{z,f}=\left({\alpha \over V_{f}^{2}}+\beta V_{f}^{2}\right){V_{f} \over F_{z}}}$

Comme ${\displaystyle \alpha /V^{2}=\beta V^{2}}$ à finesse maximale, on obtient donc :

${\displaystyle V_{z,f}=2\beta V_{f}^{2}{V_{f} \over F_{z}}}$

En substituant β, on obtient

${\displaystyle V_{z,f}=\rho {C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }b^{2}{V_{f}^{3} \over F_{z}}}$

On remplace Vf et donc,

${\displaystyle V_{z,f}=\rho {C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }{b^{2} \over F_{z}}\left[{{\sqrt {2}} \over (\pi e)^{1 \over 4}b}\times {\sqrt {F_{z} \over \rho }}\times \left({\lambda \over C_{x,\mathrm {p} }}\right)^{1 \over 4}\right]^{3}=\left({C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }\right)^{1 \over 4}{2{\sqrt {2}} \over (\pi e)^{3 \over 4}}{1 \over b}{\sqrt {F_{z} \over \rho }}}$

On note que :

${\displaystyle C_{x,\mathrm {p} }={\lambda \pi e \over 4f^{2}}}$

En substituant, on obtient :

${\displaystyle V_{z,f}=\left({\pi e \over 4f^{2}}\right)^{1 \over 4}{2{\sqrt {2}} \over (\pi e)^{3 \over 4}}{1 \over b}{\sqrt {F_{z} \over \rho }}={2 \over b}{\sqrt {F_{z} \over f\pi e\rho }}}$

En reprenant les notations ci-dessus, on a :

${\displaystyle V_{z}={\alpha \over F_{z}V}+{\beta V^{3} \over F_{z}}}$

On appelle vitesse minimale ${\displaystyle V_{m}}$ la vitesse horizontale pour laquelle le taux de chute minimal est atteint. Elle est atteinte lorsque ${\displaystyle {dV_{z} \over dV}=0}$. On obtient donc :

${\displaystyle -{\alpha \over F_{z}V_{m}^{2}}+3{\beta V_{m}^{2} \over F_{z}}=0}$

Soit ${\displaystyle V_{f}}$ la vitesse à finesse maximale. Donc[11],

${\displaystyle V_{m}=\left({\alpha \over 3\beta }\right)^{1 \over 4}={\left({1 \over 3}\right)}^{1 \over 4}~V_{f}}$

On obtient donc :

${\displaystyle V_{m}\approx 0.76\times V_{f}}$

On a :

${\displaystyle V_{z,m}=\left({\alpha \over V_{m}^{2}}+\beta V_{m}^{2}\right){V_{m} \over F_{z}}}$

On a ${\displaystyle V_{m}=\left({\alpha \over 3\beta }\right)^{1 \over 4}}$ et donc ${\displaystyle V_{m}^{2}={\sqrt {\alpha \over 3\beta }}}$ que l'on substitue et donc,

${\displaystyle V_{z,m}={V_{m} \over F_{z}}\left({\alpha \over {\sqrt {\alpha \over 3\beta }}}+\beta {\sqrt {\alpha \over 3\beta }}\right)={V_{m} \over F_{z}}{\sqrt {\alpha \beta }}\left({\sqrt {3}}+{1 \over {\sqrt {3}}}\right)}$

On substitue V_m et donc,

${\displaystyle V_{z,m}={1 \over F_{z}}\left({\alpha \over 3\beta }\right)^{1 \over 4}{\sqrt {\alpha \beta }}{4 \over {\sqrt {3}}}={\alpha ^{3 \over 4}\beta ^{1 \over 4} \over 3^{1 \over 4}}\times {1 \over F_{z}}\times {4 \over {\sqrt {3}}}}$

On substitue maintenant α et β et donc,

${\displaystyle V_{z,m}=\left({2F_{z}^{2} \over b^{2}\rho \pi e}\right)^{3 \over 4}\left({1 \over 2}{\rho b^{2}C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }\right)^{1 \over 4}{1 \over 3^{1 \over 4}}\times {1 \over F_{z}}\times {4 \over {\sqrt {3}}}}$

On obtient donc[11] :

${\displaystyle V_{z,m}={4{\sqrt {2}} \over 3^{3 \over 4}}{1 \over (\pi e)^{3 \over 4}}\left({C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }\right)^{1 \over 4}{1 \over b}{\sqrt {F_{z} \over \rho }}}$

Le rapport entre la vitesse de chute minimale et la vitesse de chute à finesse maximale est :

${\displaystyle {V_{z,m} \over V_{z,f}}={{4{\sqrt {2}} \over {\sqrt {3}}b}{1 \over (\pi e)^{3 \over 4}}\left({C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }\right)^{1 \over 4}{1 \over b}{\sqrt {F_{z} \over \rho }} \over \left({C_{x,\mathrm {p} } \over \lambda }\right)^{1 \over 4}{2{\sqrt {2}} \over (\pi e)^{3 \over 4}}{1 \over b}{\sqrt {F_{z} \over \rho }}}={4{\sqrt {2}} \over 3^{3 \over 4}}\times {1 \over 2{\sqrt {2}}}={2 \over 3^{3 \over 4}}\approx 0.88}$

On constate donc que la vitesse de chute minimale n'est que 12 % inférieure à la vitesse de chute à finesse maximale.