Vitesse de vol optimale en vol à voile

Un planeur tend naturellement à redescendre, l'art du pilote est de trouver, dans l'atmosphère, des ascendances dans lesquelles l'air monte plus vite que l'appareil ne descend, et de limiter sa durée de vol en zones défavorables (subsidences, vent contraire). Parmi les buts du vol en planeur, il est fréquent d'envisager de couvrir la plus grande distance possible le plus rapidement possible — c'est le cas en compétition —, et le respect de la vitesse de vol optimale (notée en anglais sur certains calculateurs de vol / variometres électronique STF pour Speed To Flight) offre les meilleures performances.

Vitesse optimale d'un planeur par air calme

Principes

En vol de plaine (le contexte est différent en région montagneuses), les ascendances sont localisées dans l'espace et dans le temps, elles alternent avec des zones de subsidences, généralement plus vastes. En présence de vent, le planeur voit sa vitesse par rapport au sol varier en fonction de sa route. La tactique, pour parvenir à couvrir la plus grande distance possible en opérant à la plus grande vitesse possible, consiste à utiliser une vitesse optimale, c'est-à dire adaptée aux conditions rencontrées pour obtenir la meilleure performance.

Polaire des vitesses

En air calme, la vitesse de chute (ou taux de chute) V_c d'un planeur varie en fonction de sa vitesse horizontale V_a. La courbe qui décrit cette fonction s'appelle polaire des vitesses — elle est caractéristique des performances de chaque appareil.

Il existe une fonction P qui exprime

V_{c}=P(V_{a})

Cette fonction P peut être approchée avec une bonne précision par une fonction polynomiale de degré 2.

Plané maximum par air calme

Vitesse optimale d'un planeur par air calme (50 knots indiqués ici, soit environ 92 km/h).

La figure ci-contre représente la polaire des vitesses d'un planeur. L'abscisse correspond à la vitesse-air de l'aéronef et l'ordonnée correspond à la vitesse de chute. Le plané sera le meilleur possible lorsque l'angle de plané sera le plus petit possible ; angle minimal obtenu lorsque la droite d'origine O est tangente à la courbe de la polaire[1] - [2].

Dans la fenêtre déroulante, on démontre formellement cette affirmation.

Calcul formel de la vitesse optimale par air calme

En supposant que l'air est calme et qu'aucune ascendance n'est présente, un planeur à la hauteur h va planer pendant h/V_c et va parcourir la distance

d=h\times {V_{a} \over V_{c}}

On veut maximiser d. On veut donc que

{dd \over dV_{a}}=0

On remplace d et donc, on écrit :

{d\left({V_{a} \over P(V_{a})}\right) \over dV_{a}}=0

En appliquant les formules habituelles de dérivation, on a :

{P(V_{a})-V_{a}P'(V_{a}) \over P(V_{a})^{2}}=0

On obtient donc :

P'(V_{a})={P(V_{a}) \over V_{a}}={V_{c} \over V_{a}}

On obtient donc une équation en V_a. La pente du vecteur tangent à la courbe est égale au ratio des vitesses horizontales et verticales.

Mouvement horizontal et vertical de l'atmosphère

Vitesse optimale d'un planeur par air subsident

Il est souvent dit que lorsqu'on rencontre une descendance, ou qu'on vole avec un vent de face, il faut « pousser sur le manche ». La figure ci-contre indique comment calculer la vitesse optimale d'un planeur lorsqu'il vole dans une descendance. On peut considérer que la polaire est translatée vers le bas et donc la méthode décrite ci-dessus pourrait encore s'appliquer. Toutefois, il est plus simple de ne pas bouger la polaire et relever l'origine de la courbe tangente de la vitesse de subsidence de la masse d'air. Dans la figure-ci contre, on suppose que la masse d'air descend à la vitesse de 3 nœuds et donc on calcule la courbe d'origine +3 nœuds qui est tangente à la polaire[1] - [3].

Strictement parlant, la même théorie s'applique lorsque le planeur vole dans une masse d'air ascendante. En pratique, le planeur volera à la vitesse de chute minimale dans une plage d'ascendance.

Vitesse optimale d'un planeur par vent de face

De la même manière si le planeur rencontre un vent de face, l'origine de la courbe tangente sera déplacée vers la droite de la valeur de la vitesse du vent (voir figure).

Strictement parlant, cette méthode s'applique aussi pour un vol en vent arrière. Toutefois il est général recommandé de simplement voler à la vitesse de chute minimale.

Dans l'encadré ci-dessous, on justifie formellement le calcul de la vitesse optimale.

Calcul formel de la vitesse optimale par air subsident et vent de face

On suppose que l'on est en présence d'un vent horizontal U de face et d'une descendance W. La vitesse sol V_h devient alors

V_{h}=V_{a}-U

La vitesse verticale V_v devient :

V_{v}=V_{c}+W

On obtient alors l'équation suivante :

V_{v}=V_{c}+W=P(V_{a})+W=P(V_{a})+W

On obtient donc :

{V_{h} \over V_{v}}={V_{a}-U \over P(V_{a})+W}

On veut maximiser V_h/V_v. On écrit donc que :

{d\left({V_{a}-U \over P(V_{a})+W}\right) \over dV_{a}}=0

On obtient donc :

{P(V_{a})+W-(V_{a}-U)P'(V_{a}) \over (P(V_{a})+W)^{2}}=0

Donc,

P(V_{a})+W-(V_{a}-U)P'(V_{a})=0

Donc,

V_{a}={P(V_{a})+W \over P'(V_{a})}+U

On définit maintenant la fonction Q comme suit :

Q(V_{h})=P(V_{h}+U)+W

Cette fonction Q correspond à un déplacement de la polaire des vitesses de U horizontalement vers la gauche et de W verticalement vers le bas. Donc,

V_{h}={Q(V_{h}) \over Q'(V_{h})}

Vitesse optimale en vol de campagne

La théorie de MacCready établit quelle est la vitesse de croisière optimale lors d'un vol de campagne. Si V_a est la vitesse moyenne d'ascension dans les thermiques, la vitesse optimale est obtenue en calculant quelle serait la vitesse optimale dans une masse d'air subsidente de vitesse verticale V_a. On suppose que les ascendances sont suffisamment proches et élevées de telle sorte que le planeur n'effectuera pas un atterrissage dans un champ (ou d'autres termes, qu'il n'ira pas « aux vaches »)[4].La vitesse optimale en vol de campagne est égale à la vitesse que le planeur devrait avoir dans une masse d'air subsidente dont la vitesse verticale serait égale à la vitesse moyenne d'ascension dans les thermiques.

Dans la boîte déroulante, on démontre formellement cette théorie.

Calcul de la vitesse optimale en vol de campagne

On considère la polaire des vitesses définie par P(V) et on suppose que les ascendances ont une vitesse moyenne V_a. On suppose que les ascendances sont suffisamment élevées pour que le planeur ne finisse pas « aux vaches ». On suppose que le planeur va d'un point A à un point B. Soit d la distance entre ces deux points. On suppose en outre que le planeur a la même altitude au point B qu'au point A. Soit V la vitesse horizontale du planeur. Le temps mis par le planeur pour joindre ces deux points est égal au temps passé en vol plané T_p plus le temps passé à remonter à la même altitude T_a. On a :

T_{p}={d \over V}

Pendant ce temps, le planeur aura perdu l'altitude suivante :

a=P(V)\times T_{p}={P(V)\times d \over V}

Donc pour regagner l'altitude, le planeur va spiraler pendant :

T_{a}={a \over V_{a}}={P(V)\times d \over V\times V_{a}}

On veut maintenant minimiser $T_{p}+T_{a}$ et donc on écrit :

{d(T_{a}+T_{p}) \over dV}=0

On obtient donc:

-{d \over V^{2}}+{P'(V)\times d\times V\times V_{a}-P(V)\times d\times V_{a} \over V^{2}V_{a}^{2}}=0

Donc,

-1+{P'(V)\times V-P(V) \over V_{a}}=0

Donc,

P'(V)\times V-P(V)=V_{a}

On définit maintenant Q(V) comme suit :

Q(V)=P(V)+V_{a}

On substitue P par Q et l'on obtient :

Q'(V)\times V-(Q(V)-V_{a})=V_{a}

Et finalement :

V={Q(V) \over Q'(V)}

La vitesse optimale en vol de campagne est égale à la vitesse que le planeur devrait avoir dans une masse d'air subsidente dont la vitesse verticale serait égale à la vitesse moyenne d'ascension dans les thermiques.

Bibliographie

[Cross Country Soaring] (en) Reichmann Helmut, Cross Country Soaring: A Handbook for Performance and Competition Soaring (7th Edition), Soaring Society of America, 1975, 174 p. (ISBN 1-883813-01-8, présentation en ligne)
[FAA Glider Handbook] (en) Glider Flying Handbook, US Department of Transportation (FAA) (lire en ligne)

Articles connexes

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