Viscosité élongationnelle

Soit le champ de vitesse : ${\displaystyle {\begin{cases}v_{x}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}x\\v_{y}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}y\\v_{z}={\dot {\epsilon }}z\end{cases}}}$

Ce champ satisfait bien la condition d'incompressibilité ${\displaystyle {\textrm {div}}{\vec {v}}=0}$.

Le tenseur des déformations s'écrit :

${\displaystyle e={\dot {\epsilon }}{\begin{bmatrix}-1/2&0&0\\0&-1/2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

et le tenseur des contraintes est de la forme :

${\displaystyle \sigma =-p\delta +d}$

où p est la pression et d le tenseur déviateur. Dans le cas d'un fluide newtonien, on a ${\displaystyle d=2\eta e}$, d'où

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}-p-\eta {\dot {\epsilon }}&0&0\\0&-p-\eta {\dot {\epsilon }}&0\\0&0&-p+2\eta {\dot {\epsilon }}\end{bmatrix}}}$.

Pour un fluide quelconque, on définit la viscosité élongationnelle ${\displaystyle \eta _{e}}$ par :

${\displaystyle \eta _{e}={\frac {d_{zz}-d_{xx}}{\dot {\epsilon }}}}$.

Pour un fluide newtonien, on montre que la viscosité élongationnelle vaut :

${\displaystyle \eta _{e}=3\eta }$

où ${\displaystyle \eta }$ est la viscosité de cisaillement.

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