Hypothèse de Stokes

On note :

• ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ le tenseur des contraintes ou tenseur de pression,
• ${\displaystyle \tau _{ij}}$ le tenseur des contraintes visqueuses,
• ${\displaystyle S_{kl}}$ le tenseur des vitesses de déformation.

On suppose :

• que pour un fluide au repos la contrainte est hydrostatique donc isotrope

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}}$

On définit de cette manière une pression qui, pour un gaz, est la pression thermodynamique elle-même définie par une équation d'état. Dans le cas d'un gaz parfait celle-ci est reliée à la température T par la relation ${\displaystyle p=nkT}$ où n est le nombre de particules par unité de volume et k la constante de Boltzmann.

Le tenseur des contraintes visqueuses s'en déduit comme le terme supplémentaire induit par le mouvement du fluide

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\tau _{ij}}$

• que le fluide est isotrope (la relation contrainte-déformation est indépendante du système de coordonnées). On suppose de plus que la relation contrainte-déformation est linéaire. On peut alors écrire le tenseur de contraintes sous la forme suivante[2]

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\lambda \,\nabla \cdot \mathbf {V} \,\delta _{ij}+\mu \left[\nabla \mathbf {V} +\left(\nabla \mathbf {V} \right)^{t}-{\frac {2}{3}}\nabla \cdot \mathbf {V} \,\delta _{ij}\right]}$

où ${\displaystyle \mu }$ est la viscosité dynamique liée au cisaillement, le dernier terme dans l'équation ci-dessus, et ${\displaystyle \lambda }$ la viscosité volumique relative à une dilatation (second terme).

On introduit parfois la seconde viscosité ${\displaystyle \beta =\lambda -{\frac {2}{3}}\mu }$, auquel cas on écrira :

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left[\nabla \mathbf {V} +\left(\nabla \mathbf {V} \right)^{t}-{\frac {2}{3}}\nabla \cdot \mathbf {V} \,\delta _{ij}\right]+\left(\beta +{\frac {2}{3}}\mu \right)\nabla \cdot \mathbf {V} \,\delta _{ij}}$

Si on ignore la viscosité liée à la dilatation ${\displaystyle \lambda =0}$ ou

${\displaystyle \beta +{\frac {2}{3}}\mu =0}$

La résolution de l'équation de Boltzmann pour les gaz peu denses a montré que ceci était vrai en l'absence d'échanges entre énergie de translation ou de rotation et énergie interne au cours d'une interaction à l'échelle moléculaire et a été vérifié par l'expérience sur des gaz monoatomiques. Dans le cas contraire il existe une pression qui vient s'ajouter à la pression thermodynamique. Cette valeur est généralement très faible mais a été mise en évidence pour divers gaz polyatomiques[3].

Dans le cas de gaz denses ou de liquides David Enskog a montré que la relation de Stokes était violée[4]. Mais, à la différence des gaz peu denses, cette théorie ne permet pas le calcul des coefficients de viscosité à partir des interactions moléculaires.