Accueil🇫🇷Chercher

Partie étoilée

En géométrie, une partie A d'un espace affine réel E est dite étoilée par rapport à un point a de A si, pour tout point x de A, le segment [a, x] est contenu dans A, c'est-à-dire que dans A, tout point peut être relié à a par un chemin rectiligne.

Exemple de partie étoilée : la partie rouge est :
– étoilée par rapport au point vert ;
– mais non étoilée par rapport au point bleu.

Définitions

Plus formellement, puisque le segment [a, x] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points a et x : une partie non vide A de E est étoilée par rapport à un point a de E si

(Cette condition assure que a est forcément dans A.)

Une partie de E est dite étoilée (sans plus de précisions) si elle est étoilée par rapport à un point au moins.

Propriétés affines

  • Une partie non vide est étoilée par rapport à a si et seulement si elle est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour .
  • Une partie de E est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.
  • Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
  • Une partie d'un espace vectoriel réel est étoilée par rapport à si et seulement s'il existe une fonction positivement homogène (au sens : , avec la convention ) telle que . Une telle fonction est alors nécessairement égale à la fonctionnelle de Minkowski de : [1].

Propriétés topologiques

On suppose ici que l'espace affine réel E est topologique, c'est-à-dire associé à un espace vectoriel topologique.

Référence

  1. (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 315-316 et 313.

Bibliographie

(en) A. M. Rubinov et A. A. Yagubov, « The Space of Star-Shaped Sets and Its Applications in Nonsmooth Optimization », sur IIASA (en),

Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.