Partie étoilée

Plus formellement, puisque le segment [a, x] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points a et x : une partie non vide A de E est étoilée par rapport à un point a de E si

${\displaystyle \forall x\in A\quad \{(1-t)a+tx\mid t\in \left[0,1\right]\}\subset A.}$

(Cette condition assure que a est forcément dans A.)

Une partie de E est dite étoilée (sans plus de précisions) si elle est étoilée par rapport à un point au moins.

• Une partie non vide est étoilée par rapport à a si et seulement si elle est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$.
• Une partie de E est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.
• Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
• Une partie ${\displaystyle A}$ d'un espace vectoriel réel ${\displaystyle E}$ est étoilée par rapport à ${\displaystyle 0}$ si et seulement s'il existe une fonction ${\displaystyle p:E\to \left[0,+\infty \right]}$ positivement homogène (au sens : ${\displaystyle \forall t\in \left[0,+\infty \right[\quad \forall x\in E\quad p(tx)=tp(x)}$, avec la convention ${\displaystyle 0\times \infty =0}$) telle que ${\displaystyle \{x\in E\mid p(x)<1\}\subset A\subset \{x\in E\mid p(x)\leq 1\}}$. Une telle fonction est alors nécessairement égale à la fonctionnelle de Minkowski de ${\displaystyle A}$ : ${\displaystyle \forall x\in E\quad p(x)=\inf {\{\lambda >0\mid x\in \lambda A\}}}$[1].

On suppose ici que l'espace affine réel E est topologique, c'est-à-dire associé à un espace vectoriel topologique.

• Toute partie étoilée a le type d'homotopie d'un point.
• Toute partie étoilée est connexe par arcs, et donc tout ouvert étoilé est un domaine (c'est-à-dire un ouvert connexe par arcs).
• La propriété d'être étoilé n'est pas invariante par homéomorphisme, mais les ouverts étoilés sont parmi les exemples les plus simples et les plus importants d'espaces contractiles.
• D'après le lemme de Poincaré, toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé est exacte.

(en) A. M. Rubinov et A. A. Yagubov, « The Space of Star-Shaped Sets and Its Applications in Nonsmooth Optimization », sur IIASA (en), 1984