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Fonction homogĂšne

En mathĂ©matiques, une fonction homogĂšne est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport Ă  son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multipliĂ© par un scalaire, alors le rĂ©sultat sera multipliĂ© par ce scalaire portĂ© Ă  une certaine puissance.

Exemple de fonction homogÚne de degré 1

DĂ©finitions

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un mĂȘme corps commutatif K.

Une fonction f de E dans F est dite homogÚne de degré α si

.

Si K est un sous-corps des réels, on dit que f est positivement homogÚne de degré α[note 1] si

[2].

Si K est un sous-corps des complexes, on dit que f est absolument homogÚne de degré α si

.

Selon le contexte, « positivement homogÚne » peut signifier « positivement homogÚne de degré α pour un certain α » ou « positivement homogÚne de degré 1 »[3].

Exemples

Propriété

Une fonction diffĂ©rentiable de ℝn dans ℝm est positivement homogĂšne si, et seulement si, elle vĂ©rifie l'identitĂ© d'Euler et dans ce cas, ses dĂ©rivĂ©es partielles sont positivement homogĂšnes (de degrĂ© 1 de moins).

Notes et références

Notes

  1. appelé homogÚne de degré α dans certains ouvrages[1].

Références

  1. Knut Sydsaeter, Peter Hammond (trad. de l'anglais par Micheline Citta-Vanthemsche), Mathématiques pour l'économie [« Mathematics for Economic Analysis »], Pearson, .
  2. Pour α = 1, c'est par exemple la dĂ©finition de (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, (lire en ligne), p. 30. Mais d'autres auteurs prĂ©fĂšrent inclure le cas t = 0 dans la dĂ©finition, imposant ainsi de plus , comme (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 313 ou (en) V. F. Demyanov, « Exhausters of a positively homogeneous function », Optimization, vol. 45, nos 1-4,‎ , p. 13-29 (DOI 10.1080/02331939908844424).
  3. Par exemple, Rockafellar 1970, p. 30, donne la définition d'une fonction « positivement homogÚne (de degré 1) » et dans toute la suite, ne précise plus ce degré, et dans Schechter 1997, p. 30, le degré 1 est implicite dÚs la définition.

Voir aussi

Article connexe

Fonction de Cobb-Douglas

Lien externe

« 4 Fonctions homogÚnes » (version du 26 septembre 2007 sur Internet Archive) : cours en ligne

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