Fonction homogĂšne
En mathĂ©matiques, une fonction homogĂšne est une fonction qui a un comportement dâĂ©chelle multiplicatif par rapport Ă son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multipliĂ© par un scalaire, alors le rĂ©sultat sera multipliĂ© par ce scalaire portĂ© Ă une certaine puissance.
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DĂ©finitions
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un mĂȘme corps commutatif K.
Une fonction f de E dans F est dite homogÚne de degré α si
Si K est un sous-corps des réels, on dit que f est positivement homogÚne de degré α[note 1] si
Si K est un sous-corps des complexes, on dit que f est absolument homogÚne de degré α si
Selon le contexte, « positivement homogÚne » peut signifier « positivement homogÚne de degré α pour un certain α » ou « positivement homogÚne de degré 1 »[3].
Exemples
- L'application qui à un n-uplet de réels associe son maximum est positivement homogÚne de degré 1.
- Une application linéaire est homogÚne de degré 1.
- Un polynÎme homogÚne est homogÚne de degré égal à celui de chacun de ses monÎmes.
- Une fonction sous-linéaire est positivement homogÚne de degré 1. En particulier, il en est ainsi de la jauge d'un ensemble convexe, de la fonction d'appui d'un ensemble non vide, d'une norme, etc.
- La dĂ©rivĂ©e directionnelle (au sens de Dini) d'une fonction f dĂ©finie sur un â-espace vectoriel est, lorsqu'elle existe, positivement homogĂšne de degrĂ© 1, lorsqu'on la voit comme fonction de la direction de dĂ©rivation.
- Le déterminant d'une matrice de est homogÚne de degré n.
Propriété
Une fonction diffĂ©rentiable de ân dans âm est positivement homogĂšne si, et seulement si, elle vĂ©rifie l'identitĂ© d'Euler et dans ce cas, ses dĂ©rivĂ©es partielles sont positivement homogĂšnes (de degrĂ© 1 de moins).
Notes et références
Notes
- appelé homogÚne de degré α dans certains ouvrages[1].
Références
- Knut Sydsaeter, Peter Hammond (trad. de l'anglais par Micheline Citta-Vanthemsche), Mathématiques pour l'économie [« Mathematics for Economic Analysis »], Pearson, .
- Pour α = 1, c'est par exemple la dĂ©finition de (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, (lire en ligne), p. 30. Mais d'autres auteurs prĂ©fĂšrent inclure le cas t = 0 dans la dĂ©finition, imposant ainsi de plus , comme (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 313 ou (en) V. F. Demyanov, « Exhausters of a positively homogeneous function », Optimization, vol. 45, nos 1-4,â , p. 13-29 (DOI 10.1080/02331939908844424).
- Par exemple, Rockafellar 1970, p. 30, donne la définition d'une fonction « positivement homogÚne (de degré 1) » et dans toute la suite, ne précise plus ce degré, et dans Schechter 1997, p. 30, le degré 1 est implicite dÚs la définition.
Voir aussi
Article connexe
Lien externe
« 4 Fonctions homogÚnes » (version du 26 septembre 2007 sur Internet Archive) : cours en ligne