Fonction homogène

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K.

Une fonction f de E dans F est dite homogène de degré α si

${\displaystyle \forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f(tx)=t^{\alpha }f(x)}$.

Si K est un sous-corps des réels, on dit que f est positivement homogène de degré α[note 1] si

${\displaystyle \forall t>0}$[2]${\displaystyle \quad \forall x\in E\qquad f(tx)=t^{\alpha }f(x)}$.

Si K est un sous-corps des complexes, on dit que f est absolument homogène de degré α si

${\displaystyle \forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f(tx)=|t|^{\alpha }f(x)}$.

Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré α pour un certain α » ou « positivement homogène de degré 1 »[3].

• L'application qui à un n-uplet de réels associe son maximum est positivement homogène de degré 1.
• Une application linéaire est homogène de degré 1.
• Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes.
• Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1. En particulier, il en est ainsi de la jauge d'un ensemble convexe, de la fonction d'appui d'un ensemble non vide, d'une norme, etc.
• La dérivée directionnelle (au sens de Dini) ${\displaystyle h\mapsto f'(x;h)}$ d'une fonction f définie sur un ℝ-espace vectoriel est, lorsqu'elle existe, positivement homogène de degré 1, lorsqu'on la voit comme fonction de la direction de dérivation.
• Le déterminant d'une matrice de ${\displaystyle M_{n}(K)}$ est homogène de degré n.

Une fonction différentiable de ℝⁿ dans ℝ^m est positivement homogène si, et seulement si, elle vérifie l'identité d'Euler et dans ce cas, ses dérivées partielles sont positivement homogènes (de degré 1 de moins).