Fonctionnelle de Minkowski

On sait déjà que ${\displaystyle S\subset p_{S}^{-1}(\left[0,1\right])}$ et que ${\displaystyle p_{S}}$ est positivement homogène. La nouvelle hypothèse permet de préciser la situation :

Caractérisation — La jauge d'une partie étoilée ${\displaystyle S}$ vérifie :${\displaystyle \{x\in E\mid p_{S}(x)<1\}\subset S\subset \{x\in E\mid p_{S}(x)\leq 1\}}$.

Réciproquement, pour toute fonction ${\displaystyle p:E\to \left[0,+\infty \right]}$ positivement homogène (au sens défini ci-dessus), les parties étoilées de jauge ${\displaystyle p}$ sont les ensembles compris entre ${\displaystyle p^{-1}(\left[0,1\right[)}$ et ${\displaystyle p^{-1}(\left[0,1\right])}$.

En outre :

• pour toutes parties étoilées ${\displaystyle S_{1}}$ et ${\displaystyle S_{2}}$, ${\displaystyle p_{S_{1}\cap S_{2}}(x)=\max {\left(p_{S_{1}}(x),p_{S_{2}}(x)\right)}}$ (ce qui est plus précis que la simple décroissance de ${\displaystyle S\mapsto p_{S}}$) ;
• ${\displaystyle p_{S}^{-1}(\{0\})=\cap _{\varepsilon >0}\varepsilon S}$[note 4] donc ${\displaystyle p_{S}(x)=0\Leftrightarrow \mathbb {R} _{+}x\subset S}$, ce qui fournit la première des deux équivalences ci-dessous ;
• la condition suffisante de finitude trouvée précédemment pour une partie quelconque devient nécessaire (seconde équivalence).

Ces deux conditions seront reformulées plus loin, dans le cas d'un convexe en dimension finie.

L'une des deux inclusions de la caractérisation ci-dessus est parfois une égalité :

• si S est ouvert alors ${\displaystyle S=p_{S}^{-1}(\left[0,1\right[)}$ ;
• si S est fermé alors ${\displaystyle S=p_{S}^{-1}(\left[0,1\right])}$.

La fonction sous-linéaire ${\displaystyle p}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ qui, en ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\neq (0,0)}$, vaut ${\displaystyle x_{2}}$ si ${\displaystyle x_{2}>0}$ et ${\displaystyle +\infty }$ si ${\displaystyle x_{2}\leq 0}$, est la jauge des deux convexes ${\displaystyle p^{-1}(\left[0,1\right[)=\left(\mathbb {R} \times \left]0,1\right[\right)\cup \{(0,0)\}}$ et ${\displaystyle p^{-1}(\left[0,1\right])=\left(\mathbb {R} \times \left]0,1\right]\right)\cup \{(0,0)\}}$, ainsi que de tous les ensembles intermédiaires (tous étoilés, mais pas tous convexes).

On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée ${\displaystyle S}$ est à valeurs finies si et seulement si ${\displaystyle S}$ est absorbante.

Tout voisinage de 0 est absorbant ; en dimension finie, on vérifie facilement que réciproquement, tout convexe absorbant C est un voisinage de 0 — on peut le faire assez élégamment en remarquant qu'en tant que fonction convexe à valeurs finies et définie partout, ${\displaystyle p_{C}}$ est alors continue, et que l'ensemble ${\displaystyle \{x\in E\mid p_{C}(x)<1\}}$ (contenant 0 et inclus dans C) est donc ouvert. En résumé :

Lorsque 0 est intérieur à C, on peut se faire une image mentale simple de la jauge via ses surfaces de niveau : l'ensemble des points où elle prend la valeur 1 est exactement la frontière du convexe ; les surfaces de niveau pour les autres valeurs strictement positives sont les homothétiques de cette frontière ; en les éventuels points restant non couverts par la réunion de ces surfaces de niveau, la jauge prend la valeur 0.

On peut enfin remarquer que (pour un espace vectoriel réel), si C est symétrique par rapport à 0 avec une jauge évitant la valeur +∞, la jauge est alors une semi-norme ; il en est de même pour un espace vectoriel complexe si l'on exige une version améliorée de la symétrie, à savoir l'invariance sous multiplication par n'importe quel complexe de module 1.

On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée ${\displaystyle S}$ ne s'annule qu'en l'origine si et seulement si ${\displaystyle S}$ ne contient aucune demi-droite issue de l'origine.

Si ${\displaystyle S}$ est bornée (dans un espace vectoriel normé ou plus généralement, dans un espace vectoriel topologique séparé) alors elle ne contient aucune telle demi-droite.

La réciproque est vraie pour un convexe fermé en dimension finie, et se démontrerait en exploitant la compacité de la sphère de rayon 1 (la seule hypothèse « convexe » ne suffit pas ici : cf. § « Exemple » ci-dessus) :

L'adhérence ou la fermeture de ${\displaystyle p}$ est la jauge ${\displaystyle {\overline {p}}}$ telle que ${\displaystyle C_{\overline {p}}={\overline {C_{p}}}}$.

Par conséquent :

• ${\displaystyle {\overline {p}}}$ est la plus grande jauge fermée minorant ${\displaystyle p}$ ;
• les épigraphes de ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle {\overline {p}}}$ sont reliés par ${\displaystyle \operatorname {epi} ({\overline {p}})={\overline {\operatorname {epi} p}}}$.

La polaire de ${\displaystyle p}$ est la jauge ${\displaystyle p^{\circ }}$ telle que ${\displaystyle C_{p^{\circ }}={C_{p}}^{\circ }}$.

Propriétés

• ${\displaystyle p^{\circ }}$ est fermée.
• ${\displaystyle \forall y\in E\quad p^{\circ }(y)=\inf {\{s>0\mid \forall x\in E\quad \langle x,y\rangle \leq s\,p(x)\}}}$[7].
• La bipolaire de ${\displaystyle p}$ est égale à son adhérence : ${\displaystyle p^{\circ \circ }={\overline {p}}}$ (car ${\displaystyle {C_{p}}^{\circ \circ }={\overline {C_{p}}}}$, d'après les propriétés de l'ensemble bipolaire).
• La polaire de ${\displaystyle p_{C}}$ est égale à la fonction d'appui[note 5] ${\displaystyle \sigma _{C}}$ de ${\displaystyle C}$, donc à la conjuguée[note 6] de la fonction indicatrice[note 7] de ${\displaystyle C}$.
• Si ${\displaystyle p}$ est une norme, ${\displaystyle p^{\circ }}$ est sa norme duale[note 8] (en particulier si ${\displaystyle p}$ est la norme euclidienne, ${\displaystyle p^{\circ }=p}$).
• Inégalité de Cauchy-Schwarz généralisée :${\displaystyle \forall x\in \operatorname {dom} p\quad \forall y\in \operatorname {dom} p^{\circ }\quad \langle x,y\rangle \leq p(x)p^{\circ }(y)}$[note 1] - [8] donc (en remplaçant ${\displaystyle p}$ par ${\displaystyle p^{\circ }}$)${\displaystyle \forall x\in \operatorname {dom} p^{\circ \circ }\quad \forall y\in \operatorname {dom} p^{\circ }\quad \langle x,y\rangle \leq p^{\circ \circ }(x)p^{\circ }(y)}$,ce qui renforce l'inégalité précédente puisque ${\displaystyle p^{\circ \circ }={\overline {p}}\leq p}$.

Le sous-différentiel ${\displaystyle \partial p(x)}$ de ${\displaystyle p}$ en un point ${\displaystyle x\in E}$ vérifie

${\displaystyle \partial p(x)=\{y\in {C_{p}}^{\circ }\mid \langle y,x\rangle =p(x)\}}$

(en particulier, ${\displaystyle \partial p(0)={C_{p}}^{\circ }}$ et si ${\displaystyle p(x)=+\infty }$, ${\displaystyle \partial p(x)=\varnothing }$).

On en déduit :

${\displaystyle \partial p(x)\subset }$argmax${\displaystyle {}_{y\in {C_{p}}^{\circ }}\langle y,x\rangle }$, avec égalité si ${\displaystyle p}$ est fermée.

Quelques remarques sur le résultat ci-dessus.

• Il existe des jauges ${\displaystyle p}$ et des points ${\displaystyle x}$ pour lesquels l'inclusion ci-dessus est stricte.
  C'est le cas, dans le plan euclidien, pour la jauge ${\displaystyle p}$ du § « Exemple » ci-dessus et le point ${\displaystyle x:=(1,0)}$ : ${\displaystyle \partial p(x)=\varnothing }$, tandis que ${\displaystyle {C_{p}}^{\circ }=\left(\mathbb {R} \times \left]0,1\right]\right)^{\circ }=\{0\}\times \left]-\infty ,1\right]}$ donc ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{y\in {C_{p}}^{\circ }}\langle y,x\rangle ={C_{p}}^{\circ }}$.
• ${\displaystyle p}$ est sous-différentiable[note 9] en tout point de ${\displaystyle E}$ si, et seulement si, 0 est intérieur à ${\displaystyle C_{p}}$.
  En effet (voir supra) 0 est intérieur à ${\displaystyle C_{p}}$ si et seulement si ${\displaystyle p}$ ne prend que des valeurs finies. Or si ${\displaystyle p}$ ne prend que des valeurs finies alors elle est sous-différentiable en tout point (puisqu'elle est convexe), et réciproquement (puisque ${\displaystyle \partial p(x)\neq \varnothing \Rightarrow p(x)\neq +\infty }$).