Ensemble polaire

Le polaire ${\displaystyle P^{\circ }}$[3] d'une partie ${\displaystyle P}$ d'un espace euclidien ${\displaystyle E}$ est défini par[4]

${\displaystyle P^{\circ }:=\{y\in E\mid \forall x\in P\;\;\langle y,x\rangle \leqslant 1\},}$

où ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ désigne le produit scalaire de ${\displaystyle E}$.

Exemples

• Le polaire d'un cône est égal à son cône dual négatif ; en particulier, ${\displaystyle \{0\}=E}$.
• Les boules unité fermées des normes ℓ^p et ℓ^q, avec 1/p + 1/q = 1, sont polaires l'une de l'autre ; en particulier (cas p = q = 2), la boule unité fermée de ${\displaystyle E}$ est son propre polaire.
• Dans le plan euclidien, le polaire de la bande ${\displaystyle \mathbb {R} \times \left]0,1\right]}$ est la demi-droite ${\displaystyle \{0\}\times \left]-\infty ,1\right]}$.

Le bipolaire d'une partie ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle E}$ est le polaire de son polaire. On le note ${\displaystyle P^{\circ \circ }:=(P^{\circ })^{\circ }.}$

On désigne ci-dessous l'enveloppe convexe de ${\displaystyle P}$ par ${\displaystyle \operatorname {co} {(P)}}$ et son enveloppe convexe fermée par ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}{(P)}}$.

Propriétés du polaire

On peut voir ${\displaystyle P^{\circ }}$ comme une intersection de demi-espaces fermés de ${\displaystyle E}$, contenant l'origine :

${\displaystyle P^{\circ }=\bigcap _{x\in P}\,\{y\in E\mid \langle y,x\rangle \leqslant 1\}.}$

Ceci conduit à la première propriété ci-dessous.

Propriétés du polaire — Soient ${\displaystyle E}$ un espace euclidien, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle P_{1}}$ et ${\displaystyle P_{2}}$ des parties de ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle (P_{i})_{i\in I}}$ une famille non vide de parties de ${\displaystyle E}$. Alors :

• ${\displaystyle P^{\circ }}$ est un convexe fermé contenant l'origine ;
• ${\displaystyle P_{1}\subset P_{2}~\Longrightarrow ~P_{1}^{\circ }\supset P_{2}^{\circ }}$ et plus précisément : ${\displaystyle (\cup _{i\in I}P_{i})^{\circ }=\cap _{i\in I}P_{i}^{\circ }}$ ;
• si ${\displaystyle \alpha \neq 0}$, alors ${\displaystyle (\alpha P)^{\circ }=(1/\alpha )\,P^{\circ }}$ ;
• ${\displaystyle {\big [}{{\overline {\operatorname {co} }}{(P\cup \{0\})}}{\big ]}^{\circ }=P^{\circ }}$ ;
• ${\displaystyle P^{\circ }=P}$ si, et seulement si, ${\displaystyle P}$ est la boule unité fermée de ${\displaystyle E}$.

On peut aussi écrire ${\displaystyle P^{\circ }}$ comme suit :

${\displaystyle P^{\circ }=\left\{y\in E~\left|~\sup _{x\in P}\,\langle y,x\rangle \leqslant 1\right.\right\}=\left\{y\in E\mid {\mathcal {I}}_{P}^{*}(y)\leqslant 1\right\},}$

où ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{P}^{*}}$ désigne la conjuguée de la fonction indicatrice ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{P}}$ de l'ensemble ${\displaystyle P}$.

Bornitude

Il n'y a pas d'équivalence entre la bornitude de ${\displaystyle P}$ et celle de ${\displaystyle P^{\circ }}$. Par exemple, si ${\displaystyle P=\operatorname {conv} \{0,e_{1}+e_{2},e_{1}-e_{2}\}}$, qui est borné dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle P^{\circ }=\{y\in \mathbb {R} ^{2}\mid y_{1}+y_{2}\leqslant 1}$, ${\displaystyle y_{1}-y_{2}\leqslant 1\}}$ n'est pas borné. En réalité, comme le montre le résultat suivant, la bornitude de ${\displaystyle P}$ est équivalente au fait que ${\displaystyle P^{\circ }}$ contient une petite boule centrée en zéro.

Bornitude — Soit ${\displaystyle P}$ une partie de ${\displaystyle E}$ contenant ${\displaystyle 0}$ et soit ${\displaystyle \alpha >0}$. Alors

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}P\subset \alpha B&\Longleftrightarrow &\textstyle {\frac {1}{\alpha }}B\subset P^{\circ },\\\alpha B\subset P&\Longrightarrow &P^{\circ }\subset {\frac {1}{\alpha }}B.\end{array}}}$

La réciproque de la dernière implication a lieu si ${\displaystyle P}$ est convexe.

La réciproque de la dernière implication n'est pas nécessairement vérifiée si ${\displaystyle P}$ n'est pas convexe. Par exemple, si ${\displaystyle P=([-1,1]\times \{0\})\cup (\{0\}\times [-1,1])}$, ${\displaystyle P^{\circ }=[-1,1]^{2}}$ est borné, alors que ${\displaystyle P}$ ne contient pas de boule.

En effet, puisque ${\displaystyle P}$ a même polaire que ${\displaystyle \operatorname {co} {(P\cup \{0\})}}$, on peut toujours se ramener au cas où ce polyèdre ${\displaystyle P}$ est convexe et contient ${\displaystyle 0}$.

Puisque ${\displaystyle P}$ est alors un polyèdre convexe, son indicatrice ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{P}}$ est une fonction convexe polyédrique, donc la fonction conjuguée ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{P}^{*}}$ également, si bien que ${\displaystyle P^{\circ }}$ est polyédrique, comme ensemble de sous-niveau ${\displaystyle 1}$ de ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{P}^{*}}$.

Plus explicitement : ${\displaystyle P}$ (polyèdre convexe contenant ${\displaystyle 0}$) peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle P:=\operatorname {conv} {\{c_{i}\mid i\in I\}}+\operatorname {cone} {\{d_{j}\mid j\in J\}},}$

où ${\displaystyle I\neq \varnothing }$ et ${\displaystyle J}$ sont des ensembles d'indices disjoints et finis, les points ${\displaystyle c_{i}\in E}$ pour ${\displaystyle i\in I}$, les directions ${\displaystyle d_{j}\in E}$ pour ${\displaystyle j\in J}$, et ${\displaystyle \operatorname {cone} }$ désigne l'enveloppe conique (convexe pointée). Le polaire ${\displaystyle P^{\circ }}$ de ${\displaystyle P}$ est le polyèdre convexe

${\displaystyle P^{\circ }=\{y\in E\mid \forall i\in I\;\;\langle y,c_{i}\rangle \leq 1\quad {\text{et}}\quad \forall j\in J\;\;\langle y,d_{j}\rangle \leq 0\}.}$