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Fonction convexe polyédrique

En analyse convexe, une fonction convexe polyédrique est une application, définie sur un espace vectoriel réel de dimension finie et à valeurs dans la droite réelle achevée , dont l'épigraphe est un polyèdre convexe.

Propriétés

Soit une fonction convexe polyédrique.

  • est une fonction convexe et fermée. En effet, son épigraphe est un convexe fermé de , comme intersection d'une famille (finie et non vide) de demi-espaces fermés.
  • Pour tout , l'ensemble de sous-niveau de est un polyèdre convexe. En effet, cet ensemble, égal par définition à , est le projeté sur du polyèdre convexe .

Dans la suite, on supposera de plus que est propre, c'est-à-dire qu'elle n'est pas identiquement égale à () et qu'elle ne prend pas la valeur ( ne contient pas de droite verticale).

La première équivalence ci-dessous est reprise de Gilbert 2016, la seconde de Polyak 1983.

Ensemble des minimiseurs Soient un espace vectoriel euclidien et une fonction polyédrique propre. Alors, pour tout :

désigne l'intérieur relatif d'un convexe non vide , son intérieur, et le sous-différentiel de en .

Dans la première équivalence, aucune des deux implications n'a lieu si est seulement supposée convexe, fermée et propre :

  • l'implication «  » n'a pas lieu, par exemple, pour la fonction , puisque , mais ;
  • l'implication «  » n'a pas lieu, par exemple, pour la fonction , puisque est dans l'intérieur relatif de quel que soit le minimiseur , mais le minimiseur n'est pas dans l'intérieur relatif de .

Dans la seconde équivalence, l'implication «  » ne requiert pas la polyédricité de la fonction.

Annexes

Articles connexes

Bibliographie

  • (en) J. Ch. Gilbert, « On the solution uniqueness characterization in the L1 norm and polyhedral gauge recovery », Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 1, no 1, , p. 1-32 (DOI 10.1007/s10957-016-1004-0), Rapport INRIA
  • (en) B. T. Polyak, Introduction to Optimization, New York, Optimization Software,
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