Minimum saillant

Caractérisation d'un minimum saillant — Soient ${\displaystyle \mathbb {E} }$ un espace euclidien, ${\displaystyle f:\mathbb {E} \to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ une fonction convexe propre, ${\displaystyle B}$ la boule unité fermée de ${\displaystyle \mathbb {E} }$, ${\displaystyle {\bar {x}}\in \mathbb {E} }$, ${\displaystyle \partial f({\bar {x}})}$ le sous-différentiel de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle {\bar {x}}}$ et ${\displaystyle \alpha >0}$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

1. ${\displaystyle {\bar {x}}}$ est un minimum saillant de ${\displaystyle f}$, de saille ${\displaystyle \alpha }$,
2. ${\displaystyle \forall \,d\in \mathbb {E} }$: ${\displaystyle f'({\bar {x}};d)\geqslant \alpha \|d\|}$,
3. ${\displaystyle \alpha B\subset \partial f({\bar {x}})}$.