Loi bêta prime

Sa densité de probabilité est donnée par :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

où B est la fonction bêta.

Cette loi est une loi de Pearson de type VI[1].

Le mode d'une variable aléatoire de loi bêta prime est ${\displaystyle {\widehat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}}$. Sa moyenne est ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}}$ si ${\displaystyle \beta >1}$ (si ${\displaystyle \beta \leq 1}$ la moyenne est infinie, en d'autres termes elle n'est pas définie pour la loi bêta prime), et sa variance est ${\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}}$ si ${\displaystyle \beta >2}$.

Pour ${\displaystyle -\alpha <k<\beta }$, le k-ième moment ${\displaystyle \mathbb {E} [X^{k}]}$ est donné par

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{k}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta -k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.}$

Pour ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ avec ${\displaystyle k<\beta }$, la formule se simplifie en

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}$

La fonction de répartition de la loi bêta prime est :

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha }\cdot _{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ est la fonction hypergéométrique.

De nouveaux paramètres peuvent être ajoutés pour former la loi bêta prime généralisée :

${\displaystyle p>0}$ paramètre de forme et ${\displaystyle q>0}$ paramètre d'échelle.

La densité de probabilité est alors donnée par :

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\begin{cases}{\frac {p{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{\alpha p-1}\left({1+{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{p}}\right)^{-\alpha -\beta }}{q\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

avec moyenne

${\displaystyle {\frac {q\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{p}})\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}{\text{ si }}\beta p>1}$

et mode

${\displaystyle q{\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)}^{\tfrac {1}{p}}{\text{ si }}\alpha p\geq 1.}$

Si une variable aléatoire X suit une loi bêta prime généralisée, on notera ${\displaystyle X\sim \beta ^{'}(\alpha ,\beta ,p,q)}$. Si p=q=1, alors la loi bêta prime généralisée est la loi bêta prime standard.

• Si ${\displaystyle X\sim \beta ^{'}(\alpha ,\beta )\,}$ alors ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \beta ^{'}(\beta ,\alpha )}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \beta ^{'}(\alpha ,\beta ,p,q)\,}$ alors ${\displaystyle kX\sim \beta ^{'}(\alpha ,\beta ,p,kq)\,}$.
• ${\displaystyle \beta ^{'}(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta ^{'}(\alpha ,\beta )\,}$

• Si ${\displaystyle X\sim F(\alpha ,\beta )\,}$ alors ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta ^{'}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {\beta }{2}})\,}$ (F est la loi de Fisher)
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )\,}$ alors ${\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta ^{'}(\alpha ,\beta )\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,1)\,}$ et ${\displaystyle Y\sim \Gamma (\beta ,1)\,}$, alors ${\displaystyle {\frac {X}{Y}}\sim \beta ^{'}(\alpha ,\beta )}$.
• ${\displaystyle \beta ^{'}(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)\,}$ la loi de Dagum
• ${\displaystyle \beta ^{'}(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)\,}$ la loi de Burr
• ${\displaystyle \beta ^{'}(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\,}$ la loi log-logistique

• (en) Jonhnson, N.L., Kotz, S. et Balakrishnan, N., Continuous Univariate Distributions, vol. 2, Wiley, 1995 (ISBN 0-471-58494-0)
• (en) Eric W. Weisstein, « Beta Prime Distribution », sur MathWorld