Loi de Fisher

Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être construite comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, U₁ et U₂, distribuées chacune selon une loi du χ² et ajustées pour leurs nombres de degrés de liberté, respectivement d₁ et d₂ : ${\displaystyle \mathrm {F} (d_{1},d_{2})\sim {\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$.

La densité de probabilité d'une loi de Fisher, F(d₁, d₂), est donnée par ${\displaystyle f(x)={\frac {\left({\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}\;\left(1-{\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{2}/2}}{x\;\mathrm {B} (d_{1}/2,d_{2}/2)}}}$ pour tout réel x ≥ 0, où d₁ et d₂ sont des entiers positifs et B est la fonction bêta.

La fonction de répartition associée est : ${\displaystyle F(x)=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}$ où I est la fonction bêta incomplète régularisée.

La loi binomiale est liée à la loi de Fisher par la propriété suivante[4]: si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et si k est un entier compris entre 0 et n, alors ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq k)=\mathbb {P} (F\geq x)}$ où F suit une loi de Fischer de paramètres ${\displaystyle d_{1}=2(k+1)\,,\,d_{2}=2(n-k)}$ avec ${\displaystyle x={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\frac {p}{1-p}}.}$

L'espérance, la variance valent respectivement ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ pour d₂ > 2 et ${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ pour d₂ > 4. Pour d₂ > 8, le kurtosis normalisé est ${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$.

Une généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non-centrée (en).

• Si ${\displaystyle \ X\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$ alors ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ est distribuée selon une loi du χ² ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$;
• La loi ${\displaystyle \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$ est équivalente à la loi T² de Hotelling ${\displaystyle (d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)/d_{2})\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$;
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2}),}$ alors la loi inverse est aussi une loi de Fisher ${\displaystyle {\frac {1}{X}}\sim F(d_{2},d_{1})}$;
• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (d)\!}$ est distribuée selon une loi de Student alors ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (1,d)}$;
• Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ est distribuée selon une loi normale alors ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (1,\infty )}$;
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$ et ${\displaystyle Y={\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}}$ alors ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$ est distribuée selon une loi bêta;
• Si ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ est le quantile d'ordre ${\displaystyle p}$ pour ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$ et que ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(p)}$ est le quantile d'ordre ${\displaystyle p}$ pour ${\displaystyle Y\sim \operatorname {F} (d_{2},d_{1})}$ alors ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)=1/\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$.

Définition du 95^e centile d'une loi de Fisher-Snedecor.

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi de Fisher pour différents paramètres ν₁ et ν₂. Pour chaque paramètre, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de Fisher lui soit inférieur est de ${\displaystyle 1-\alpha }$. Ainsi, pour ${\displaystyle 1-\alpha =0,95}$ et ${\displaystyle d_{1}=1}$ et ${\displaystyle d_{2}=3}$, si X suit une loi de Fisher avec ces paramètres , on lit dans la table que ${\displaystyle P(X\leqslant 10,13)=0,95.}$

Table de Fisher-Snedecor, 1-α = 0.95

${\displaystyle d_{2}}$ (dén.)	${\displaystyle d_{1}}$ (numérateur)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	80	100	200	500	1 000
1	161.45	199.50	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88	240.54	241.88	248.02	250.10	251.14	251.77	252.20	252.72	253.04	253.68	254.06	254.19
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.45	19.46	19.47	19.48	19.48	19.48	19.49	19.49	19.49	19.49
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.66	8.62	8.59	8.58	8.57	8.56	8.55	8.54	8.53	8.53
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.80	5.75	5.72	5.70	5.69	5.67	5.66	5.65	5.64	5.63
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.56	4.50	4.46	4.44	4.43	4.41	4.41	4.39	4.37	4.37
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	3.87	3.81	3.77	3.75	3.74	3.72	3.71	3.69	3.68	3.67
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.44	3.38	3.34	3.32	3.30	3.29	3.27	3.25	3.24	3.23
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.15	3.08	3.04	3.02	3.01	2.99	2.97	2.95	2.94	2.93
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	2.94	2.86	2.83	2.80	2.79	2.77	2.76	2.73	2.72	2.71
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.77	2.70	2.66	2.64	2.62	2.60	2.59	2.56	2.55	2.54
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.12	2.04	1.99	1.97	1.95	1.92	1.91	1.88	1.86	1.85
30	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.42	2.33	2.27	2.21	2.16	1.93	1.84	1.79	1.76	1.74	1.71	1.70	1.66	1.64	1.63
40	4.08	3.23	2.84	2.61	2.45	2.34	2.25	2.18	2.12	2.08	1.84	1.74	1.69	1.66	1.64	1.61	1.59	1.55	1.53	1.52
50	4.03	3.18	2.79	2.56	2.40	2.29	2.20	2.13	2.07	2.03	1.78	1.69	1.63	1.60	1.58	1.54	1.52	1.48	1.46	1.45
60	4.00	3.15	2.76	2.53	2.37	2.25	2.17	2.10	2.04	1.99	1.75	1.65	1.59	1.56	1.53	1.50	1.48	1.44	1.41	1.40
70	3.98	3.13	2.74	2.50	2.35	2.23	2.14	2.07	2.02	1.97	1.72	1.62	1.57	1.53	1.50	1.47	1.45	1.40	1.37	1.36
80	3.96	3.11	2.72	2.49	2.33	2.21	2.13	2.06	2.00	1.95	1.70	1.60	1.54	1.51	1.48	1.45	1.43	1.38	1.35	1.34
90	3.95	3.10	2.71	2.47	2.32	2.20	2.11	2.04	1.99	1.94	1.69	1.59	1.53	1.49	1.46	1.43	1.41	1.36	1.33	1.31
100	3.94	3.09	2.70	2.46	2.31	2.19	2.10	2.03	1.97	1.93	1.68	1.57	1.52	1.48	1.45	1.41	1.39	1.34	1.31	1.30
200	3.89	3.04	2.65	2.42	2.26	2.14	2.06	1.98	1.93	1.88	1.62	1.52	1.46	1.41	1.39	1.35	1.32	1.26	1.22	1.21
300	3.87	3.03	2.63	2.40	2.24	2.13	2.04	1.97	1.91	1.86	1.61	1.50	1.43	1.39	1.36	1.32	1.30	1.23	1.19	1.17
500	3.86	3.01	2.62	2.39	2.23	2.12	2.03	1.96	1.90	1.85	1.59	1.48	1.42	1.38	1.35	1.30	1.28	1.21	1.16	1.14
1 000	3.85	3.00	2.61	2.38	2.22	2.11	2.02	1.95	1.89	1.84	1.58	1.47	1.41	1.36	1.33	1.29	1.26	1.19	1.13	1.11
2 000	3.85	3.00	2.61	2.38	2.22	2.10	2.01	1.94	1.88	1.84	1.58	1.46	1.40	1.36	1.32	1.28	1.25	1.18	1.12	1.09

• Test de Fisher

• Table of critical values of the F-distribution
• Online significance testing with the F-distribution
• Distribution Calculator pour calculer les probabilités et les valeurs critiques des lois normales, de Student, du Chi-deux et de la loi de Fisher
• Cumulative distribution function (CDF) calculator for the Fisher F-distribution
• Probability density function (PDF) calculator for the Fisher F-distribution