Loi inverse

La loi réciproque (en) a une densité fonction de la forme[1]:

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ pour }}0<a<x<b,}$

où ${\displaystyle \propto \!\,}$ signifie "est proportionnel à". Il s'ensuit que la loi inverse dans ce cas est de la forme

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ pour }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},}$

qui est encore une loi réciproque.

Si la variable aléatoire d'origine X est uniformément distribuée sur l'intervalle ( a, b ), où a > 0, alors la variable inverse Y = 1 / X a la loi inverse qui prend des valeurs dans l'intervalle ( b⁻¹, a⁻¹ ), et la fonction de densité de probabilité dans cette plage est

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},}$

et est nulle ailleurs.

La fonction de répartition de l'inverse, dans le même intervalle, est

${\displaystyle G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.}$

Par exemple, si X est uniformément distribué sur l'intervalle (0;1), alors Y = 1 / X a une densité ${\displaystyle g(y)=y^{-2}}$ et a pour fonction de répartition ${\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}}$ lorsque ${\displaystyle y>1.}$

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Student avec k degrés de liberté. Alors sa fonction de densité est

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

La densité de Y = 1 / X est alors

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

Avec k = 1, les lois de X et 1 / X sont identiques ( X suit alors une loi de Cauchy (0,1)). Si k > 1 alors la loi de 1 / X est bimodale.

Si la variable X suit une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, alors l'inverse ou réciproque Y = 1/ X suit une loi normale inverse[2]:

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$

Graphique de l'inverse de la loi normale standard

Si la variable X suit une loi normale centrée réduite ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, alors Y = 1/X suit une loi normale standard réciproque, à queue lourde et bimodale[2] avec des modes en ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ et de densité

${\displaystyle f(y)={\frac {{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}}$

et les moments de premier ordre et d'ordre supérieur n'existent pas[2] Pour ces lois inverses et pour les lois de rapport, il peut toujours y avoir des probabilités définies pour les intervalles, qui peuvent être calculées soit par simulation de Monte Carlo, soit, dans certains cas, en utilisant la transformation de Geary-Hinkley[3].

Cependant, dans le cas plus général d'une fonction réciproque décalée ${\displaystyle 1/(p-B)}$, pour ${\displaystyle B={\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ suivant une loi normale générale, alors les statistiques de moyenne et de variance existent dans un sens de valeur principale, si la différence entre le pôle ${\displaystyle p}$ et la moyenne ${\displaystyle \mu }$ est à valeur réelle. La moyenne de cette variable aléatoire transformée (loi normale décalée réciproque) est alors bien la fonction de Dawson mise à l'échelle[4].

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).}$

En revanche, si le déplacement ${\displaystyle p-\mu }$ est purement complexe, la moyenne existe et est une fonction de Faddeeva (en) mise à l'échelle, dont l'expression exacte dépend du signe de la partie imaginaire, ${\displaystyle \operatorname {Im} (p-\mu )}$ . Dans les deux cas, la variance est une simple fonction de la moyenne[4]. Par conséquent, la variance doit être considérée dans un sens de valeur principale si ${\displaystyle p-\mu }$ est réel, alors qu'il existe si la partie imaginaire de ${\displaystyle p-\mu }$ est non nul. Il faut noter que ces moyennes et ces variances sont exactes, car elles ne dépendent pas de la linéarisation du rapport. La covariance exacte de deux rapports avec une paire de pôles différents ${\displaystyle p_{1}}$ et ${\displaystyle p_{2}}$ est également disponible[4]. Le cas de l'inverse d'une variable normale complexe (en) ${\displaystyle B}$, décalé ou non, présente des caractéristiques différentes.

Si ${\displaystyle X}$ est une variable aléatoire de loi exponentielle avec de paramètre ${\displaystyle \lambda }$, alors ${\displaystyle Y=1/X}$ a la fonction de répartition suivante : ${\displaystyle F_{Y}(y)={\rm {e}}^{-\lambda /y}}$ pour ${\displaystyle y>0}$.

On note que l'espérance de cette variable aléatoire n'existe pas.

La loi exponentielle réciproque trouve une utilisation dans l'analyse des systèmes de communication sans fil qui s'évanouissent.

Si X est une variable aléatoire suivant une loi de Cauchy de paramètres (μ, σ), alors 1/X est une variable aléatoire de Cauchy de paramètres (μ/C, σ/C ) où C = μ² + σ².

Si X est une variable aléatoire suivant une loi de Fisher F(ν₁, ν₂) alors 1 / X est une variable aléatoire suivant une loi de Fisher F(ν₂, ν₁).

Aucune forme fermée pour cette loi n'est connue. Une approximation asymptotique de la moyenne est connue[5]:

${\displaystyle \mathbb {E} [(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

où E[] est l'opérateur d'espérance, X est une variable aléatoire, O() et o() renvoient aux notations de Landau, n est la taille de l'échantillon, p est la probabilité de succès et a est une variable qui peut être positif ou négatif, entier ou fractionnaire.

Pour une loi triangulaire avec limite inférieure a, limite supérieure b et mode c, où a < b et a ≤ c ≤ b, la moyenne de l'inverse est donnée par

${\displaystyle \mu ={\frac {2}{a-b}}\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}$

et la variance par

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2}{a-b}}\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)-\mu ^{2}}$ .

Les deux moments de l'inverse ne sont définis que lorsque le triangle ne passe pas par zéro, c'est-à-dire lorsque a, b et c sont tous positifs ou tous négatifs.

D'autres lois inverses incluent

Loi inverse-χ²

loi inverse-gamma

loi de Wishart inverse

loi gamma matricielle inverse