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Loi inverse-gamma

Dans la Théorie des probabilités et en statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une distribution Gamma.

Inverse-gamma
Image illustrative de l’article Loi inverse-gamma
Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres paramètre de forme (réel)
paramètre d'échelle (réel)
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance pour
Mode
Variance pour
Asymétrie pour
Kurtosis normalisé pour
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

Caractérisation

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support par:

est un paramètre de forme et un paramètre d'intensité, c'est-à-dire l'inverse d'un paramètre d'échelle.

Fonction de répartition

La fonction de répartition est la fonction gamma régularisée :

où le numérateur est la fonction gamma incomplète et le dénominateur est la fonction gamma.

Distributions associées

  • Si et alors est une loi inverse-χ²;
  • Si , alors la loi Gamma de paramètre de forme et de paramètre d'échelle (ou de manière équivalente, d'intensité );
  • Une généralisation multivariée de la loi inverse-gamma est la loi de Wishart inverse.

Obtention à partir de la loi Gamma

La densité de la loi Gamma est

et définissons la transformation . La densité de la transformée est alors

Remplaçant par , par et enfin par donne la densité donnée plus haut :

Apparitions

Références

  1. (en) Mike Ludkovski, « Math 526: Brownian Motion Notes », UC Santa Barbara, , p. 5-6
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