Valeur principale

En mathématiques, plus particulièrement en analyse complexe, les valeurs principales d'une fonction à plusieurs valeurs sont les valeurs le long d'une branche choisie de cette fonction, de sorte qu'elle est à valeur unique. Le cas le plus simple se présente en prenant la racine carrée d'un nombre réel positif. Par exemple, 4 a deux racines carrées : 2 et −2 ; parmi ceux-ci, la racine positive, 2, est considérée comme la racine principale et est notée √4.

Motivation

On considère la fonction logarithme complexe $ln(z)$ . Il est défini comme le nombre complexe $w$ tel que

\mathrm {e} ^{w}=z.

Maintenant, par exemple, on suppose qu'on souhaite trouver la valeur $ln(i)$ . Cela signifie que qu'il faut résoudre pour $w$

\mathrm {e} ^{w}=\mathrm {i} .

Il est clair que $i π / 2$ est une solution. Mais est-ce la seule solution ?

Bien sûr, il existe d'autres solutions, ce qui est mis en évidence en considérant la position de $i$ dans le plan complexe et en particulier son argument $arg(i)$ . On peut tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de $π / 2$ radians à partir de 1 pour atteindre $i$ initialement, mais si on fait une rotation supplémentaire de $2 π$ , on atteint à nouveau $i$ . Donc, il serait possible de conclure que $i (π / 2 + 2 π)$ est aussi une solution pour $ln(i)$ . Il devient clair dès lors qu'on peut ajouter (ou soustraire) n'importe quel multiple de $2i π$ à la solution initiale pour obtenir toutes les valeurs de $ln(i)$ .

Mais cela a une conséquence qui peut surprendre en comparaison des fonctions à valeurs réelles : $ln(i)$ n'a pas formellement de valeur définie. Pour $ln(z)$ , on a

\ln {z}=\ln {|z|}+{\rm {i}}\left(\mathrm {arg} \ z\right)=\ln {|z|}+{\rm {i}}\left(\mathrm {Arg} \ z+2\pi k\right)

pour un entier $k$ , où $Arg(z)$ est l'argument (principal) de $z$ défini comme étant dans l' intervalle $]- π, π]$ . Comme l'argument principal est unique pour un nombre complexe donné $z$ , $- π$ n'est pas inclus dans l'intervalle. Chaque valeur de $k$ détermine ce que l'on appelle une branche (ou feuille), un composant à valeur unique de la fonction ln à valeurs multiples.

La branche correspondant à $k = 0$ est connue comme la branche principale, et le long de cette branche, les valeurs que prend la fonction sont connues comme les valeurs principales.

Cas général

En général, si $f (z)$ est multiple, la branche principale de $f$ est notée

\mathrm {pv} \,f(z)

tel que pour $z$ dans le domaine de $f$ , $pv f (z)$ est à valeur unique.

Valeurs principales des fonctions standards

Les fonctions élémentaires à valeurs complexes peuvent être à valeurs multiples sur certains domaines. La valeur principale de certaines de ces fonctions peut être obtenue en décomposant la fonction en fonctions plus simples, la valeur principale des fonctions simples étant simple à obtenir.

Fonction logarithme

Le cas de la fonction logarithme a été vu comme exemple ci-dessus, c'est-à-dire

\log {z}=\ln {|z|}+{\rm {i}}(\mathrm {arg} (z)).

Maintenant, $arg(z)$ est intrinsèquement multivalué. On définit souvent l'argument d'un nombre complexe comme étant compris entre $- π$ (exclusif) et $π$ (inclusif), on prend donc celui-ci comme la valeur principale de l'argument, et on écrit la fonction argument sur cette branche $Arg(z)$ (avec le premier A majuscule). En utilisant $Arg(z)$ au lieu de $arg(z)$ , on obtient la valeur principale du logarithme, et on écrit

\mathrm {pv} \log {z}=\mathrm {Log} \,z=\ln {|z|}+{\rm {i}}\left(\mathrm {Arg} \,z\right).

Racine carrée

Pour un nombre complexe $z=r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\phi }\,$ la valeur principale de la racine carrée est :

\mathrm {pv} {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}\phi /2}

avec un argument $-\pi <\phi \leq \pi .$

Argument complexe

comparaison des fonctions atan et atan2

La valeur principale de l'argument du nombre complexe mesuré en radians peut être définie à :

valeurs dans la plage $[0,2\pi [$
valeurs dans la plage $]-\pi ,\pi ]$

Pour calculer ces valeurs, on peut utiliser des fonctions :

atan2 avec la valeur principale dans l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$
atan avec une valeur principale dans l'intervalle $]{\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]$

Voir aussi

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Principal value » (voir la liste des auteurs).

(en) Eric W. Weisstein, « Principal Value », sur MathWorld

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