Fonction de Dawson

La fonction de Dawson peut être définie comme la solution de l'équation différentielle

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1}$

satisfaisant la condition initiale F(0) = 0 ; la méthode de variation de la constante permet alors d'en déduire que

${\displaystyle F(x)={\rm {e}}^{-x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{t^{2}}\,{\rm {d}}t.}$

La fonction de Dawson peut être calculée à partir de la fonction d'erreur erf : on a

${\displaystyle F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)=-{{\rm {i}}{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erf} ({\rm {i}}x)}$

où erfi est la fonction d'erreur imaginaire, erfi(x) = −i erf(ix).

Quand x tend vers 0, on a ${\displaystyle F(x)\sim x}$ (au sens de l'équivalence des fonctions) et quand x tend vers l'infini, ${\displaystyle F(x)\sim {\frac {1}{2x}}}$.

Plus précisément, au voisinage de 0, le développement en série entière de F est :

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\dots }$

(cette série entière converge pour tout x) et, son développement asymptotique en ${\displaystyle +\infty }$ est :

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}x^{2n+1}}}+o(x^{-2n-2})}$

(qui, au contraire, correspond pour tout x à une série divergente).

On trouve parfois pour la fonction de Dawson la notation ${\displaystyle D_{+}(x)={\rm {e}}^{-x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{t^{2}}\,{\rm {d}}t}$, et la fonction « symétrique » est alors notée ${\displaystyle D_{-}(x)={\rm {e}}^{x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{-t^{2}}\,{\rm {d}}t}$ ; avec ces notations, on a donc ${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)\quad {\rm {et}}\quad D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{x^{2}}\mathrm {erf} (x).}$

• Cephes - Bibliothèque de programmes de calcul de fonctions spéciales en C et C++
• (en) Eric W. Weisstein, « Dawson's Integral », sur MathWorld
• (en) Nikolai G. Lehtinen, « Error functions », sur Université Stanford, 2010