Degré de liberté (statistiques)

Supposons un ensemble de n variables aléatoires, toutes de même loi et indépendantes X₁,...,X_n.

Le vecteur aléatoire X dont chaque coordonnée est une de ces variables est défini dans un espace à n dimensions, donc naturellement, il a n degrés de libertés.

On note ${\displaystyle {\bar {X}}}$ la moyenne de ce vecteur. On peut alors réécrire le vecteur de cette façon :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}={\bar {X}}{\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}X_{1}-{\bar {X}}\\\vdots \\X_{n}-{\bar {X}}\end{pmatrix}}.}$

Le premier vecteur étant entièrement déterminé par la valeur ${\displaystyle {\bar {X}}}$, il n'a qu'un degré de liberté. Le deuxième vecteur doit satisfaire la condition ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})=0}$. Ainsi, en connaissant n − 1 coordonnées du vecteur, on peut en déduire la n^e : ce vecteur a n − 1 degrés de liberté.

Mathématiquement, cette décomposition traduit la projection orthogonale du vecteur aléatoire sur le sous-espace défini par le vecteur constant à 1, qui est de dimension 1, et donc son complémentaire de dimension n − 1.

Dans les tests statistiques, on s'intéresse plus à l'écart quadratique des composantes du vecteur :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}={\begin{Vmatrix}X_{1}-{\bar {X}}\\\vdots \\X_{n}-{\bar {X}}\end{Vmatrix}}^{2}.}$

Pour le cas où les X_i suivent une loi normale centrée et de variance σ², alors la somme définie plus haut suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté, comme vu précédemment.

De même, la statistique de test du test de Student

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {n}}({\bar {X}}-\mu _{0})}{\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}}}$

suit une loi de Student à n − 1 degrés de liberté si la moyenne μ₀ est connue.