Test de Student

Façade de la brasserie historique Guinness de St. James.

William Sealy Gosset, qui inventa le test t, sous le pseudonyme Student.

Le test de Student et la loi de probabilités qui lui correspond ont été publiés en 1908 dans la revue Biometrika par William Gosset[3]. Gosset, un employé de la brasserie Guinness à Dublin, y avait développé le test t à des fins de contrôle de la qualité de la production de bière stout. La brasserie avait pour règle que ses chimistes ne publient pas leurs découvertes. Gosset argua que son article ne serait d'aucune utilité pour les concurrents et obtint l'autorisation de publier mais sous un pseudonyme, Student, pour éviter les difficultés avec les autres membres de son équipe[4].

Le test t est devenu célèbre grâce aux travaux de Ronald Fisher qui montra que ce test ne couvre pas le cas des échantillons de grande taille. Il apporta donc des modifications au test de Student afin de le généraliser.

Le test t a plusieurs utilisations dont voici les plus fréquentes :

• Comparaison de moyenne d'une loi normale à une valeur si la variance est inconnue.
• Comparaison de deux moyennes issues de deux lois normales si leurs variances sont égales et inconnues. Dans le cas où leurs variances sont différentes et inconnues, on utilise une adaptation appelée le test t de Welch.
• Test sur les coefficients dans le cadre d'une régression linéaire.
• Test sur des échantillons appariés

On souhaite comparer la moyenne μ d'une population de loi normale et d’écart type σ non connu à une valeur déterminée μ₀. L'hypothèse nulle est H₀ : μ = μ₀, autrement dit on suppose a priori que la moyenne vaut μ₀. On se place maintenant sous l'hypothèse nulle. On considère un échantillon de taille n de cette population ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$, autrement dit, selon l'hypothèse nulle, chaque ${\displaystyle X_{i}}$ est une variable aléatoire qui soit une loi normale de moyenne μ₀ et d'écart type σ. De plus, les ${\displaystyle X_{i}}$ sont indépendantes. On estime alors la moyenne par la moyenne empirique :

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ .

Selon l’hypothèse nulle, la distribution d’échantillonnage de la moyenne ${\displaystyle {\overline {X}}}$ se distribue elle aussi normalement avec un écart type σ/√n. Comme la variance σ² est inconnue, on l'estime par son estimateur sans biais (on note la division par ${\displaystyle n-1}$ au lieu de ${\displaystyle n}$ afin d'avoir un estimateur sans biais) :

${\displaystyle S_{n}^{\ast ^{2}}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}}$.

D'après le théorème de Cochran, sous l'hypothèse nulle, ${\displaystyle {\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}S_{n}^{\ast ^{2}}}$suit une loi du chi deux à n – 1 degrés de liberté.

On pose la statistique de test suivante :

${\displaystyle Z={\sqrt {n}}{\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S_{n}^{\ast }}}}$

Par définition, la statistique ${\displaystyle Z}$ suit une loi de Student à n – 1 degrés de liberté. On choisit un risque α, généralement 0,05 ou 0,01 et l'on calcule la réalisation de la statistique de test :

${\displaystyle z={\sqrt {n}}{\frac {{\overline {x}}_{n}-\mu _{0}}{s_{n}^{\ast }}},}$ où ${\displaystyle s_{n}^{\ast }={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}}_{n})^{2}}}}$.

On rappelle que l'on veut tester H₀ : μ = μ₀. Ainsi, si |z| est supérieur au quantile d'ordre 1 – α/2 de la loi de Student à n – 1 degrés de liberté alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Cas où l'on veut tester H₀ : μ ≤ μ₀ : si z est supérieur au quantile d'ordre 1 – α de la loi de Student à n – 1 degrés de liberté alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Cas où l'on veut tester H₀ : μ ≥ μ₀ : si z est inférieur au quantile d'ordre α de la loi de Student à n – 1 degrés de liberté alors on rejette l'hypothèse nulle.

Remarque : si l'on note t_{k, α} le quantile d'ordre α de la loi de Student à k degrés de liberté alors on a l'égalité t_{k, α} = – t_{k, 1 – α}.

• Loi de Student, la loi de probabilité de la statistique dans le test t
• Test t de Welch, une adaptation pour comparer deux moyennes de deux lois normales dont les variances sont inconnues et inégales
• Test de Wald