Quantile

Les quantiles d'une variable aléatoire univariée, discrète (ex. : entière) ou continue (réelle), sont les valeurs que prend la variable pour des valeurs de probabilité sous le quantile considéré, valant une valeur remarquable, par exemple 3 dixièmes, ou 5 centièmes, etc. On les appelle encore fractiles, synonyme complet selon le contexte d'usage, et ce sont les valeurs réciproques de la fonction de répartition de la loi de probabilité considérée. On s'intéresse plus particulièrement à quelques jeux de valeurs de quantile correspondant aux multiples de fractions simples du 100 % de la probabilité totale. Par exemple, on peut scinder les 100 % de probabilité totale en 4 masses de probabilités égales chacune à ¹⁄₄=25 %, correspondant, pour les valeurs de la variable aléatoire, à quatre intervalles adjacents. Les trois valeurs intermédiaires définissent ainsi, respectivement les fractiles de ¹⁄₄=0,25, ¹⁄₂=0,5 et ³⁄₄=0,75, ou encore en termes de fractions, les quantiles d'un quart, un demi et trois quarts (les deux limites extrêmes, l'inférieure correspondant au quantile de 0 et la supérieure pour le quantile de 1, sont les bornes du domaine de définition de la variable aléatoire.

Les quantiles d'un échantillon statistique de nombres sont des valeurs remarquables permettant de diviser le jeu de ces données ordonnées (i.e. triées) en intervalles consécutifs contenant le même nombre de données (à la justesse de la division entière du nombre total de données, près). Par exemple, un échantillon de 90 données pourra être découpé selon 10 sous-intervalles consécutifs au moyen d'un jeu de 9 quantiles (plus les limites inférieure et supérieure du domaine d'échantillonnage).

Certains jeux de quantiles ont reçu des noms particuliers :

• les quantiles des multiples du centième sont appelés centiles, ou percentiles selon un anglicisme fréquent. Ainsi, le 5^e centile partage l'échantillon en 5 % des données sous lui, et les 95 % restant au-dessus de lui. Le dernier centile (le 99^e) joue fréquemment un rôle de seuil d'alerte extrême pour des mesures qui traduisent l'intensité d'un phénomène sujet à des évolutions critiques et en permettent ainsi le suivi (cf. ci-après l'exemple en hydrologie de la définition de la crue centennale) ;
• les quantiles des multiples du dixième sont des déciles. Ils sont d'usage fréquent en géologie minière (étude des caractéristiques granulométriques de matériaux divisés), en hydrologie (définition des hauteurs d'eau, notamment pour les crues, le 9^e décile du débit d'une rivière définissant son niveau de crue décennale), ainsi que dans nombre de statistiques médicales ;
• les quantiles des multiples du quart sont les quartiles. Le premier quartile est la statistique notée générale q₁ ; le second quartile n'est autre que la médiane ; le troisième quartile est noté q₃ et son écart au 1^er quartile définit l'écart interquartile, qui est une des mesures classiques de la dispersion de l'échantillon de données, néanmoins plus robuste que l'écart-type.

Ont encore été définis, les quatre quintiles, et les deux terciles, d'usage rare.

Nota Bene : certains programmes informatiques définissent un quantile minimum et un quantile maximum par, respectivement, le quantile de 0 et le quantile de 100 %. Toutefois, une telle terminologie va au-delà des définitions traditionnelles de la statistique.

Soit un nombre réel ${\displaystyle \alpha \in [0;1]}$ et ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire réelle. On note ${\displaystyle F}$ la fonction de répartition de ${\displaystyle X}$, c'est-à-dire pour tout réel ${\displaystyle x}$, on a ${\displaystyle F(x)=\mathbb {P} (X\leq x)}$.

Le quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle X}$, appelé aussi ${\displaystyle \alpha }$-quantile, est l'ensemble ${\displaystyle q(\alpha )}$ tel que :

${\displaystyle q(\alpha )=F^{-1}(\{\alpha \}).}$

Autrement dit, le quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle X}$ est l'ensemble des nombres réels ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x)=\alpha }$. Lorsque ${\displaystyle F}$ est bijective, il n'y a qu'une valeur dans ${\displaystyle q(\alpha )}$ : dans ces cas-là par abus de langage on parle du singleton ${\displaystyle q(\alpha )}$ comme d'un nombre.

Exemples :

1. Le quantile d'ordre 1/2 d'une variable de loi normale centrée réduite est 0
2. Le quantile d'ordre 0,025 d'une variable de loi normale centrée réduite est d'environ -1.959964

Il existe différentes méthodes pour estimer les quantiles :

Soit N le nombre de valeurs observées de la population échantillonnée, et soit x₁, x₂, ..., x_N les valeurs ordonnées de la même population, telles que x₁ est la plus petite valeur, etc. Pour le k-ième q-quantile, on a p = ^k⁄_q.

Fonction de distribution empirique

${\displaystyle {\begin{cases}x_{j},&g=0\\x_{j+1},&g>0\end{cases}}}$

j est la partie entière de Np et g la partie fractionnelle.

Fonction de distribution empirique avec mise à la moyenne

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}(x_{j}+x_{j+1}),&g=0\\x_{j+1},&g>0\end{cases}}}$

jest la partie entière de Np et g est la partie fractionnelle.

Moyenne pondérée

${\displaystyle x_{j+1}+g(x_{j+2}-x_{j+1})}$

j est la partie entière de (N–1)p et g est la partie fractionnelle. Cette méthode est utilisée, par exemple, dans la fonction PERCENTILE de Microsoft Excel.

Échantillon de numéro le plus proche de (N–1)p+1

${\displaystyle {\begin{cases}x_{j},&g\leq 0,5\\x_{j+1},&g\geq 0,5\end{cases}}}$

j est la partie entière de (N–1)p+1 et g est la partie fractionnelle.

• Statistique
• Boîte à moustaches
• Centile
• Quartile
• Value at risk
• Diagramme Quantile-Quantile
• Fonction quantile