Fonction quantile

Lois continues

Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ est :

${\displaystyle F(x;\lambda )=1-{\rm {e}}^{-\lambda x}1\!\!1_{x\geq 0}}$

La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ p < 1, la valeur Q tel que ${\displaystyle 1-{\rm {e}}^{-\lambda Q}=p}$ soit :

${\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!}$

Les quartiles sont donc :

• premier quartile (p = 1/4): ${\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda \,}$
• médiane (p = 2/4) : ${\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda \,}$
• troisième quartile (p = 3/4) : ${\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .\,}$

De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :

• loi de Cauchy de paramètres x₀ et a

  ${\displaystyle Q(p;x_{0},a)=x_{0}+a\tan \left(\pi \left(p-{\frac {1}{2}}\right)\right)}$

• loi logistique de paramètres μ et s

  ${\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +2s\operatorname {artanh} (2p-1)}$

• loi de Laplace

  ${\displaystyle Q(p;\mu ,b)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0,5)\,\ln(1-2|p-0,5|).}$

Loi de Tukey-lambda

La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :

${\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }}{\lambda }},\ \lambda \in \mathbb {R} }$

• Fonction de répartition
• Quantile
• Régression quantile

• (en) Eric W. Weisstein, « Quantile Function », sur MathWorld