Loi de Dagum
En théorie des probabilités et statistique, la loi de Dagum, ou loi à deux types de Dagum-Bernstein-Rafeh-Raja-Spencer, est une loi de probabilité continue à support [0,+∞[. Son nom est issu de Camilo Dagum qui l'introduisit dans une série d'articles dans les années 1970[1] - [2]. La loi de Dagum apparait dans plusieurs variantes de nouveaux modèles de revenus des ménages.
Loi de Dagum |
Densité de probabilité
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Paramètres
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paramètre de forme
paramètre de forme
paramètre d'échelle
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Support
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Densité de probabilité
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Fonction de répartition
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Espérance
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Médiane
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Mode
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Variance
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voir l'article.
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Il existe également une loi de Dagum de type I à trois paramètres et une loi de Dagum de type II à quatre paramètres ; un résumé de ces types sont détaillés dans des ouvrages tels que (Kleiber, 2008[3]) ou (Kleiber, 2003[4]).
Si X suit une loi de Dagum, on notera
.
Définition
La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type I) est donnée par :
![{\displaystyle F(x;a,b,p)={\begin{cases}{\left(1+{\left({\dfrac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}](https://img.franco.wiki/i/2a4dd916eeeb161a59a4c77b6f8322b7b078eb86.svg)
et où
.
La densité de probabilité correspondante est donnée par
![{\displaystyle f(x;a,b,p)={\begin{cases}{\dfrac {ap}{x}}\left({\frac {\left({\frac {x}{b}}\right)^{ap}}{\left(\left({\frac {x}{b}}\right)^{a}+1\right)^{p+1}}}\right)&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}](https://img.franco.wiki/i/475a47d98cf6963748dd0e6888ed5543a794b138.svg)
La loi de Dagum peut être obtenue à partir de la loi bêta généralisée de type II (elle-même généralisation de la loi bêta prime). Il y a également un lien entre la loi de Dagum et la loi de Burr :
.
La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type II) ajoute une masse à l'origine et suit une loi de Dagum de type I sur le reste du support :
![{\displaystyle F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta ){\left(1+{\left({\frac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}.}](https://img.franco.wiki/i/7309f52a128f34b4d5dd1c5e4396063cc8ac9d18.svg)
Propriétés
La variance de la loi de Dagum est donnée par :
![{\displaystyle {\text{Var}}(X)={\begin{cases}-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\left(2a{\dfrac {\Gamma \left(-{\frac {2}{a}}\right)\,\Gamma \left({\frac {2}{a}}+p\right)}{\Gamma (p)}}+\left({\dfrac {\Gamma \left(-{\frac {1}{a}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{a}}+p\right)}{\Gamma (p)}}\right)^{2}\right)&{\text{si}}\ a>2\\[5pt]{\text{indéterminé}}&{\text{ sinon}}\ \end{cases}}}](https://img.franco.wiki/i/a790dda957d71bc55edf7c396c9254f82da377df.svg)
où Γ est la fonction Gamma.
Références
- Dagum, Camilo (1975); A model of income distribution and the conditions of existence of moments of finite order; Bulletin of the International Statistical Institute, 46 (Proceeding de la 40e session du ISI), 199-205.
- Dagum, Camilo (1977); A new model of personal income distribution: Specification and estimation; Économie Appliquée, 30, 413-437.
- Kleiber, Christian (2008) "A Guide to the Dagum Distributions" in Chotikapanich, Duangkamon (ed.) Modeling Income Distributions and Lorenz Curves (Economic Studies in Inequality, Social Exclusion and Well-Being), Chapter 6, Springer
- Kleiber, Christian and Samuel Kotz (2003) Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Wiley
Liens externes
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