Loi de Dagum

En théorie des probabilités et statistique, la loi de Dagum, ou loi à deux types de Dagum-Bernstein-Rafeh-Raja-Spencer, est une loi de probabilité continue à support $[0,+\infty[$ . Son nom est issu de Camilo Dagum qui l'introduisit dans une série d'articles dans les années 1970[1] - [2]. La loi de Dagum apparait dans plusieurs variantes de nouveaux modèles de revenus des ménages.

Loi de Dagum
Densité de probabilité



Paramètres	$p>0$ paramètre de forme $a>0$ paramètre de forme $b>0$ paramètre d'échelle
Support	$x>0$
Densité de probabilité	${\frac {ap}{x}}\left({\tfrac {\left({\frac {x}{b}}\right)^{ap}}{\left(\left({\tfrac {x}{b}}\right)^{a}+1\right)^{p+1}}}\right)$
Fonction de répartition	${\left(1+{\left({\tfrac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}$
Espérance	${\begin{cases}\scriptstyle -{\frac {b}{a}}{\frac {\Gamma \left(-{\frac {1}{a}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{a}}+p\right)}{\Gamma (p)}}&{\text{si}}\ a>1\\{\text{indéterminé}}&{\text{ sinon}}\ \end{cases}}$
Médiane	$b{\left(-1+2^{\frac {1}{p}}\right)}^{-{\tfrac {1}{a}}}$
Mode	$b{\left({\tfrac {ap-1}{a+1}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}$
Variance	voir l'article.

Il existe également une loi de Dagum de type I à trois paramètres et une loi de Dagum de type II à quatre paramètres ; un résumé de ces types sont détaillés dans des ouvrages tels que (Kleiber, 2008[3]) ou (Kleiber, 2003[4]).

Si X suit une loi de Dagum, on notera $X\sim D(a,b,p)$ .

Définition

La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type I) est donnée par :

F(x;a,b,p)={\begin{cases}{\left(1+{\left({\dfrac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}

et où $a,b,p>0$ .

La densité de probabilité correspondante est donnée par

f(x;a,b,p)={\begin{cases}{\dfrac {ap}{x}}\left({\frac {\left({\frac {x}{b}}\right)^{ap}}{\left(\left({\frac {x}{b}}\right)^{a}+1\right)^{p+1}}}\right)&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

La loi de Dagum peut être obtenue à partir de la loi bêta généralisée de type II (elle-même généralisation de la loi bêta prime). Il y a également un lien entre la loi de Dagum et la loi de Burr :

X\sim D(a,b,p)\iff {\frac {1}{X}}\sim SM(a,{\tfrac {1}{b}},p)

La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type II) ajoute une masse à l'origine et suit une loi de Dagum de type I sur le reste du support :

F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta ){\left(1+{\left({\frac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}.

Propriétés

La variance de la loi de Dagum est donnée par :

{\text{Var}}(X)={\begin{cases}-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\left(2a{\dfrac {\Gamma \left(-{\frac {2}{a}}\right)\,\Gamma \left({\frac {2}{a}}+p\right)}{\Gamma (p)}}+\left({\dfrac {\Gamma \left(-{\frac {1}{a}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{a}}+p\right)}{\Gamma (p)}}\right)^{2}\right)&{\text{si}}\ a>2\\[5pt]{\text{indéterminé}}&{\text{ sinon}}\ \end{cases}}

où $Γ$ est la fonction Gamma.

Références

Dagum, Camilo (1975); A model of income distribution and the conditions of existence of moments of finite order; Bulletin of the International Statistical Institute, 46 (Proceeding de la 40^e session du ISI), 199-205.
Dagum, Camilo (1977); A new model of personal income distribution: Specification and estimation; Économie Appliquée, 30, 413-437.
Kleiber, Christian (2008) "A Guide to the Dagum Distributions" in Chotikapanich, Duangkamon (ed.) Modeling Income Distributions and Lorenz Curves (Economic Studies in Inequality, Social Exclusion and Well-Being), Chapter 6, Springer
Kleiber, Christian and Samuel Kotz (2003) Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Wiley

Liens externes

Camilo Dagum (1925 - 2005)

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