Loi de Burr

En théorie des probabilités, en statistique et en économétrie, la loi de Burr, loi de Burr de type XII, loi de Singh-Maddala, ou encore loi log-logistisque généralisée est une loi de probabilité continue dépendant de deux paramètres réels positifs c et k. Elle est communément utilisée pour étudier les revenus des ménages.

Loi de Burr
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$c>0\!$ $k>0\!$
Support	$x>0\!$
Densité de probabilité	$ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!$
Fonction de répartition	$1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}$
Espérance	$k\operatorname {B} (k-1/c,\,1+1/c)$ où B est la fonction bêta
Médiane	$\left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}$
Mode	$\left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}$

Si X suit une loi de Burr (ou Singh-Maddala), on notera $X\sim SM(c,k)$ .

Caractérisation

La densité de probabilité de la loi de Burr est donnée par[1] - [2] :

f(x;c,k)={\begin{cases}ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}

et sa fonction de répartition est :

F(x;c,k)={\begin{cases}1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Lien avec d'autres distributions

Si $c=1$ , la loi de Burr est la Distribution de Pareto.
Si $k=1$ , la loi de Burr est la loi log-logistique.
Si $k\to +\infty$ , la loi de Burr est la loi de Weibull.

Références

Maddala, G.S.. 1983, 1996. Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. Cambridge University Press.
(en) Pandu R. Tadikamalla, « A Look at the Burr and Related Distributions », International Statistical Review, vol. 48, n^o 3,‎ 1980, p. 337-344 (lire en ligne)

(en) I. W. Burr, « Cumulative frequency functions », Annals of Mathematical Statistics, vol. 13, n^o 2,‎ 1942, p. 215–232 (DOI 10.1214/aoms/1177731607, lire en ligne).
(en) R. N. Rodriguez, « A guide to Burr Type XII distributions », Biometrika, vol. 64,‎ 1977, p. 129–134

Loi de Burr

Caractérisation

Lien avec d'autres distributions

Références

Voir également

Articles connexes