Système de Burr

Pour les lois univariées, Burr s'intéresse aux fonctions de répartition F vérifiant l'équation différentielle :

${\displaystyle F'(x)=F(x)(1-F(x))g(x)}$

où g est une fonction positive. On retrouve les fonctions de Pearson pour (Burr 1942) :

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}.}$

Cette équation se résout simplement avec :

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+\exp \left(-\int _{-\infty }^{x}g(t)\,\mathrm {d} t\right)}}}$

Dans son article, Burr cite douze solutions de l'équation différentielle telles qu'elles répondent aux caractéristiques d'une fonction de répartition d'une loi de probabilités (à savoir être croissante sur la droite réelle, la semi-continuité à droite, et prendre les valeurs sur [0;1]).

Type I

Elle correspond au cas où ${\displaystyle g(x)={\frac {1}{x(1-x)}}1\!\!1_{0<|x|<1}(x)}$, ce qui permet de retrouver la loi uniforme continue.

Type II

Elle correspond au cas où ${\displaystyle F(x;k)=(1+{\rm {e}}^{-x})^{-k}}$. Pour k = 1, on reconnait la loi logistique.

Type III

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;c,k)\propto \left[1+x^{c}\right]^{-k}1\!\!1_{\mathbb {R} _{+}}(x)}$

Pour k = 1, on reconnait la loi log-logistique. On l'appelle aussi « loi de Burr inverse » ou « loi de Dagum généralisée ».

Type IV

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;c,k)\propto \left[1+\left({\frac {c}{x}}-1\right)^{\frac {1}{c}}\right]^{-k}1\!\!1_{]0;c[}(x)}$

Type V

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto \left[1+c\exp(-\tan(x))\right]^{-k}1\!\!1_{]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[}(x)}$

Type VI

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto \left[1+\exp(-k\sinh(x))\right]^{-k}}$

Type VII

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto {\frac {1}{2^{k}}}\left[1+\tanh(x))\right]^{k}}$

Type VIII

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto \left[{\frac {2}{\pi }}\arctan({\rm {e}}^{x})\right]^{k}}$

Pour k = 1, on reconnait la loi sécante hyperbolique.

Type IX

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;c,k)\propto 1-{\frac {2}{2+c\left[(1+{\rm {e}}^{x})^{k}-1\right]}}}$

Type X

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto (1-{\rm {e}}^{-x^{2}})^{k}1\!\!1_{\mathbb {R} _{+}}(x)}$

Pour k = 1, on reconnait la loi de Rayleigh.

Type XI

Elle correspond au cas où

${\displaystyle F(x;k)\propto \left[x-{\frac {\sin(2\pi x)}{2\pi }}\right]^{k}1\!\!1_{]0;1[}(x)}$

Pour k = 1, on reconnait la loi du cosinus surélevé.

Type XII

C'est cette loi qu'on appelle la loi de Burr, car c'est celle que Burr étudie plus spécifiquement dans son article d'origine :

${\displaystyle F(x;c,k)\propto (1-\left(1+x^{c}\right)^{-k})1\!\!1_{\mathbb {R} _{+}}(x)}$

• (en) T. R. L. Fry, Univariate and Multivariate Burr Distributions: A Survey, 1989 (DOI 10.22004/ag.econ.266976, lire en ligne).
• (en) I. W. Burr, « Cumulative frequency functions », Annals of Mathematical Statistics, vol. 13, n^o 2,‎ 1942, p. 215–232 (DOI 10.1214/aoms/1177731607, lire en ligne).
• (en) Navid Feroze et Muhammad Aslam, Maximum Likelihood Estimation of Burr Type V Distribution under Left Censored Samples, vol. 12, coll. « WSEAS Transactions on Mathematics », 2013 (lire en ligne), chap. 6.
• (en) Norman L. Johnson, Samuel Kotz et Narayanaswamy Balakrishnan, Continuous Univariate Distributions, vol. 2, New York, John Wiley & Sons, 1995 (ISBN 978-0-471-58494-0).
• (en) Pandu R. Tadikamalla, « A Look at the Burr and Related Distributions », International Statistical Review, vol. 48, n^o 3,‎ 1980, p. 337–344 (DOI 10.2307/1402945).

• Ajustement de loi de probabilité
• Fonction de Pearson
• Système de Johnson