Loi sécante hyperbolique

La densité de la loi sécante hyperbolique est donnée par la transformation suivante de la fonction sécante hyperbolique :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!.}$

La fonction de répartition de la loi sécante hyperbolique est :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \!\left[\operatorname {sinh} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\arctan \!\left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\right]\!.\end{aligned}}}$

où arctan est la fonction trigonométrique inverse arc tangente. La fonction quantile, ou fonction inverse de la fonction de répartition, est donnée par :

${\displaystyle {\begin{aligned}F^{-1}(p)&=-{\frac {2}{\pi }}\,\operatorname {arsinh} \!\left[\cot(\pi \,p)\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\,\ln \!\left[\tan \left({\frac {\pi }{2}}\,p\right)\right]\!\end{aligned}}}$

où arsinh est la fonction inverse sinus hyperbolique et cot est la fonction cotangente.

La loi sécante hyperbolique partage plusieurs propriétés avec la loi normale : elle est symétrique, de variance unitaire et de moyenne, médiane et mode nuls ; Sa densité est proportionnelle à sa fonction caractéristique. Cependant la loi sécante hyperbolique est leptokurtique, c'est-à-dire qu'elle possède un pic autour de sa moyenne et une longue traîne, comparée à celle de la loi normale.

Johnson et al. (1995, p. 147) donnent cette loi dans le contexte d'une classe de lois qui généralisent la loi logistique, ils utilisent cependant une paramétrisation différente de celle présentée ici.

• (en) W. D. Baten, « The probability law for the sum of n independent variables, each subject to the law ${\displaystyle (2h)^{-1}\operatorname {sech} (\pi x/2h)}$ », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 40, n^o 4,‎ 1934, p. 284-290 (DOI 10.1090/S0002-9904-1934-05852-X)
• (en) J. Talacko, « Perks' distributions and their role in the theory of Wiener's stochastic variables », Trabajos de Estadistica, vol. 7,‎ 1956, p. 159-174.
• Luc Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation, New York, Springer-Verlag, 1986 (lire en ligne), « Section IX.7.2 ».
• (en) G.K. Smyth, « A note on modelling cross correlations: Hyperbolic secant regression », Biometrika, vol. 81, n^o 2,‎ 1994, p. 396–402 (DOI 10.1093/biomet/81.2.396, lire en ligne)
• (en) Norman L. Johnson, Samuel Kotz et N. Balakrishnan, Continuous Univariate Distributions, vol. 2, 1995 (ISBN 0-471-58494-0).

• Loi logistique