Loi de Rayleigh

La loi de Rayleigh est la loi de probabilité de densité[1] :

${\displaystyle f(x;\sigma ^{2})={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

pour ${\displaystyle x\in [0,\infty [.}$

Les moments sont donnés par :

${\displaystyle m_{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,}$

où Γ(z) est la fonction Gamma.

L'espérance et la variance d'une variable aléatoire de Rayleigh X sont les suivantes :

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 1{,}253\cdot \sigma \,}$

et

${\displaystyle {\textrm {Var}}(X)={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}\approx 0{,}429\cdot \sigma ^{2}\,.}$

Le coefficient d'asymétrie ((en) skewness) est :

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0{,}631.}$

La kurtosis est :

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0{,}245.}$

La fonction caractéristique est :

${\displaystyle \varphi (t):1\!-\!\sigma t\mathrm {e} ^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}$

où erfi(z) est la fonction d'erreur complexe. La transformée de Laplace est

${\displaystyle M(t)=\,1+\sigma t\,\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right),}$

où erf(z) est la fonction d'erreur.

Étant donné N variables de Rayleigh indépendantes et de même loi de paramètre σ, l'estimateur du maximum de vraisemblance de σ est

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}}}.}$

Étant donné une variable U uniforme sur l'intervalle ]0;1[, la variable

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln(U)}}\,}$

suit la loi de Rayleigh de paramètre σ. Cela provient de la forme de la fonction de répartition, en particulier du théorème de la réciproque, et du fait que 1–U a même loi que U.

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ suit la loi de Rayleigh si ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$, où ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ et ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ sont deux variables gaussiennes indépendantes, ce qui explique le choix du symbole "σ" pour paramétriser la loi de Rayleigh.
• Si ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$, alors R² suit la loi du χ² avec deux degrés de liberté: ${\displaystyle R^{2}\sim \chi _{2}^{2},\ }$ qui est une loi exponentielle de paramètre 1/2.
• Si X suit une loi exponentielle ${\displaystyle X\sim {\mathcal {E}}(\lambda )}$, alors ${\displaystyle Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$.
• Si ${\displaystyle R_{i}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$, et si les R_i forment une suite de variables indépendantes, alors ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$ suit une loi gamma de paramètres N et 2σ² : ${\displaystyle [Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})}$.
• La loi de Rice est une généralisation de la loi de Rayleigh.