Loi log-logistique

Le ${\displaystyle k}$-ième moment existe seulement quand ${\displaystyle k<\beta ,}$ et se donne alors par[3] - [4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\,\operatorname {B} (1-k/\beta ,\,1+k/\beta )\\&=\alpha ^{k}\,{k\,\pi /\beta \over \sin(k\,\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

où B est la fonction bêta. L'expression pour les espérance, variance, coefficient d'asymétrie et coefficient d’aplatissement (kurtosis) se tirent de l'expression précédente. En posant ${\displaystyle b=\pi /\beta ,}$ la moyenne prend la forme

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1}$

et la variance devient

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2}$.

Les expressions explicites de la kurtosis et du skewness sont plus longues à reproduire[5]. Lorsque β tend vers l'infini, la moyenne (espérance) tend vers α, la variance et le skewness tendent tous deux vers 0 et la kurtosis tend vers 6/5 (voir aussi #Distributions associées ci-dessous).

L'inverse de la fonction de répartition est donnée par :

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }}$.

Il s'ensuit que la médiane est α, le premier quartile est ${\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }$ et le dernier quartile est ${\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha }$.

La distribution log-logistique procure un modèle paramétrique pour l'analyse de survie (durée de vie). Contrairement à l'habituelle distribution de Weibull, cette densité permet une fonction de risque (défaillance) non monotone : lorsque β > 1, la fonction de risque est unimodale (lorsque β ≤ 1, le risque décroît de manière monotone). Le fait de disposer d'une expression explicite pour la fonction de répartition est un avantage pour l'analyse de survie avec des données tronquées (ou censurées)[6].

La fonction de survie est donnée par :

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=\left[1+\left({\frac {t}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]^{-1}}$

la fonction de risque :

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {{\dfrac {\beta }{\alpha }}\left({\dfrac {t}{\alpha }}\right)^{\beta -1}}{1+\left({\dfrac {t}{\alpha }}\right)^{\beta }}}}$

et la fonction de risque cumulé :

${\displaystyle H(t)=-\log(S(t))=\log \left[1+\left({\frac {t}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]}$

La distribution log-logistique a permis de modéliser le débit des cours d'eau ou encore les précipitations.

La distribution log-logistique permet en sciences économiques de modéliser simplement les inégalités de revenu, souvent sous la dénomination de « distribution de Fisk »[7]. Son coefficient de Gini est ${\displaystyle 1/\beta }$[8].