Fonction de Pearson

La fonction de Pearson IV correspond au cas où la fonction f définie auparavant a un discriminant strictement négatif. On peut alors la réécrire sous la forme : ${\displaystyle f(x)=b_{2}\left[\left(x+{\frac {b_{1}}{2b_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {4b_{2}b_{1}-b_{0}^{2}}}{2b_{2}}}\right)^{2}\right]=b_{2}\left[(x-\lambda )^{2}+\alpha ^{2}\right]}$

Le paramètre α > 0 (bien défini en raison du signe du discriminant) est un paramètre d'échelle, on a deux paramètres de forme m = ¹⁄_{b2 > 1/2} et ${\textstyle \nu ={\frac {b_{1}-2b_{2}a}{2b_{2}^{2}\alpha }}}$, et le paramètre λ = ^b₁⁄_2b2 est un paramètre de localisation.

Après simplification, la densité de probabilité p, pour x réel, vaut : ${\displaystyle p(x)=k\cdot \left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{2}\right]^{-m}\cdot \exp \left[-\nu \cdot \arctan \left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)\right]}$ où k est un facteur de normalisation. Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec r = 2m–1 degrés de liberté pour ν = 0.

Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la loi de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique placé en ${\displaystyle x_{m}=\lambda -{\frac {a\nu }{2m}}}$ elle présente deux points d'inflexion situés en ${\displaystyle x_{i+/-}=x_{m}\pm {\frac {a}{2m}}{\sqrt {\frac {4m^{2}+\nu ^{2}}{2m+1}}}}$.

Sa moyenne vaut ${\displaystyle \langle x\rangle =\lambda -{\frac {a\nu }{r}}}$ pour m > 1. La moyenne est infinie si ν = 0 et m ≤ 1.

Sa variance vaut ${\displaystyle \mu _{2}={\frac {a^{2}}{r^{2}(r-1)}}(r^{2}+\nu ^{2})}$ pour m > 3/2. La variance est infinie si m ≤ 3/2.

Le facteur de normalisation vaut : ${\displaystyle k={\frac {2^{2m-2}|\Gamma (m+\mathrm {i} \nu /2)|^{2}}{\pi a\Gamma (r+1)}}}$ où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

La fonction de Pearson IV correspond au cas particulier de la fonction IV où le paramètre de forme ν, qui détermine l'asymétrie, est supposé nul. La distribution devient alors symétrique.

La VII^e fonction de Pearson est définie alors, pour x entier, par ${\displaystyle p(x)=k\left[1+{\frac {(x-\lambda )^{2}}{\alpha ^{2}}}\right]^{-m}.}$ Le facteur de normalisation vaut alors : ${\displaystyle k={\frac {1}{\alpha \mathrm {B} (m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}}$ où B est la fonction bêta.

On écrit parfois une expression simplifiée en posant σ = α/√2m–3 : ${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2m-3}}\,\mathrm {B} (m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}\left[1+{\frac {(x-\lambda )^{2}}{\sigma ^{2}(2m-3)}}\right]^{-m}}$

Le paramètre m détermine alors la kurtosis de la distribution ;

• m < 1 : distribution dite super-lorentzienne ;
• m = 1 : distribution de Cauchy/Lorentz (lorentzienne)/Breit-Wigner ;
• m → ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).

Elle est utilisée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).

Autre paramétrisation : la loi de Student

La fonction de Pearson VII permet aussi de retrouver la fonction de densite de la loi de Student en fixant le jeu de paramètres : ${\displaystyle \lambda =\mu ,\ \alpha ={\sqrt {\nu \sigma ^{2}}},\ m={\frac {\nu +1}{2}}.}$

La contrainte m > 1/2 est ainsi toujours vérifiée.

On obtient alors la densité : ${\displaystyle p(x\mid \mu ,\sigma ^{2},\nu )={\frac {1}{{\sqrt {\nu \sigma ^{2}}}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}.}$

En considérant le cas où f a un discriminant positif (b2
1 – 4 b₂ b₀ ≥ 0), on a alors deux racines réelles a₁ et a₂ (pas forcément distinguées) :

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {-b_{1}-{\sqrt {b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}}}}{2b_{2}}},\\[5pt]a_{2}&={\frac {-b_{1}+{\sqrt {b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}}}}{2b_{2}}}.\end{aligned}}}$

La forme générale de la densité peut alors se réécrire : ${\displaystyle p(x)\propto \exp \left(-{\frac {1}{b_{2}}}\int {\frac {x-a}{(x-a_{1})(x-a_{2})}}\,\mathrm {d} x\right).}$

Pearson le désigne comme le "cas logarithmique" (logarithmic case), car l'intégrale se résout alors en utilisant uniquement la fonction logarithme : ${\displaystyle \int {\frac {x-a}{(x-a_{1})(x-a_{2})}}\,\mathrm {d} x={\frac {(a_{1}-a)\ln(x-a_{1})-(a_{2}-a)\ln(x-a_{2})}{a_{1}-a_{2}}}+C.}$

En posant ${\textstyle \nu ={\frac {1}{b_{2}(a_{1}-a_{2})}},}$, il vient : ${\displaystyle p(x)\propto (x-a_{1})^{-\nu (a_{1}-a)}(x-a_{2})^{\nu (a_{2}-a)}.}$

Les fonctions de Pearson de type I (une généralisation de la loi bêta) correspondent au cas où les deux racines sont de signes opposés (a₁ < 0 < a₂). La densité p n'est alors définie que sur l'intervalle (a₁ , a₂). En se ramenant à l'intervalle (0 ; 1) par la substitution x = a₁ + y (a₂ – a₁), et en posant : ${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\frac {a-a_{1}}{b_{2}(a_{1}-a_{2})}},\\[5pt]m_{2}&={\frac {a-a_{2}}{b_{2}(a_{2}-a_{1})}},\end{aligned}}}$

l'écriture de la densité se simplifie en : ${\displaystyle p(y)\propto y^{m_{1}}(1-y)^{m_{2}},}$

Ainsi, ${\displaystyle {\frac {x-\lambda -a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}}$ suit une loi bêta B(m₁ + 1 , m₂ + 1) avec ${\textstyle \lambda =\mu _{1}-(a_{2}-a_{1}){\frac {m_{1}+1}{m_{1}+m_{2}+2}}-a_{1}}$. La condition m₁, m₂ > −1 est nécessaire et suffisante pour que p définisse une densité de probabilités.

Les fonctions de Pearson de type II sont un cas particulier des fonctions de type I, où les paramètres rendent la densité symétrique.

Pour la courbe de la fonction de Pearson II[4] ${\displaystyle y=y_{0}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)^{m},}$

avec ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\sum d^{2}-{\frac {n^{3}-n}{12}}.}$

L'ordonnée y est la fréquence de ∑ d². Elles sont utilisées dans le calcul des tables de coefficients de corrélation dans la corrélation de Spearman pour un échantillon de moins de 100. Après, la distribution se rapproche d'une loi de Student.

En posant ${\displaystyle \lambda =\mu _{1}+{\frac {b_{0}}{b_{1}}}-(m+1)b_{1},}$ il vient que les fonctions de Pearson de type III regroupent les lois gamma et les lois du χ².

En posant ${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&={\frac {b_{1}}{2b_{2}}},\\\lambda &=\mu _{1}-{\frac {a-C_{1}}{1-2b_{2}}},\end{aligned}}}$ on voit que les fonctions de Pearson de type V correspondant aux lois inverse-gamma.

En posant ${\displaystyle \lambda =\mu _{1}+(a_{2}-a_{1}){\frac {m_{2}+1}{m_{2}+m_{1}+2}}-a_{2},}$ il vient que les fonctions de Pearson de type VI regroupent les lois bêta prime et les lois de Fisher.

La forme générale de la densité peut s'écrire[5]: ${\displaystyle p(x)\propto \exp \left(-{\frac {x}{a}}\right)^{-m}.}$

La forme générale de la densité peut s'écrire[5]: ${\displaystyle p(x)\propto \exp \left(-{\frac {x}{a}}\right)^{m}.}$

La forme générale de la densité peut s'écrire[5]: ${\displaystyle p(x)\propto \exp \left(-{\frac {x-m}{a}}\right).}$ On reconnait alors la loi exponentielle.

La forme générale de la densité peut s'écrire[5]: ${\displaystyle p(x)\propto x^{-m}.}$ C'est donc un cas particulier de la loi de Pareto.

La forme générale de la densité peut s'écrire[5]: ${\displaystyle p(x)\propto \left({\frac {1+{\frac {x}{a}}}{1+\int {\frac {x}{b}}}}\right)^{m}.}$ C'est donc un cas particulier du type I.

Le système de Burr regroupe les distributions telles que leur fonctions de répartition F vérifient l'équation différentielle[7]: ${\displaystyle F'(x)=F(x)(1-F(x))g(x)}$ où g est une fonction positive.

Burr a déterminé douze types de solutions, selon le choix de g[8] - [9] - [10]; celle qu'on appelle usuellement loi de Burr correspond au 12^e et dernier cas.

Le système de Johnson repose sur une transformation de données normalement distribuées, caractérisée par une fonction et quatre paramètres dits de translation. En considérant φ la fonction de densité de la loi normale centrée réduite, il pose une fonction h supposément croissante et dérivable, et quatre paramètres, δ, λ > 0, γ, ξ réels, il transforme la variable ${\textstyle Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)}$ en ${\displaystyle X=\xi +\lambda h^{-1}\left({\frac {Z-\gamma }{\delta }}\right)\Longleftrightarrow Z=\gamma +\delta h\left({\frac {X-\xi }{\lambda }}\right),}$ ce qui permet d'obtenir un modèle de fonction de densité : ${\displaystyle p(x)=\delta h'\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\varphi \left(\gamma +\delta h\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right).}$ Johnson s'attarde sur trois types de fonctions[11]:

• une fonction à support borné :

${\displaystyle h(x)=\ln \left({\frac {x}{1-x}}\right)}$

• une fonction à support sur la demi-droite réelle :

${\displaystyle h(x)=\ln(x)}$

• une fonction à support non borné (en) :

${\displaystyle h(x)=\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)=\operatorname {argsinh} (x)}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pearson distribution » (voir la liste des auteurs).
• (en) Karl Pearson, « Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material : A (1887-1895) », Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 186,‎ 1895, p. 343–414 (DOI 10.1098/rsta.1895.0010, JSTOR 90649)
• (en) Karl Pearson, « Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. X. Supplement to a Memoir on Skew Variation : Series A, Containing Papers of a Math. or Phys. Character (1896-1934) », Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 197,‎ 1901, p. 443–459 (DOI 10.1098/rsta.1901.0023, JSTOR 90841)
• (en) Karl Pearson, « Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. XIX. Second Supplement to a Memoir on Skew Variation : Series A, Containing Papers of a Math. or Phys. Character (1896-1934) », Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 216,‎ 1916, p. 429–457 (DOI 10.1098/rsta.1916.0009, JSTOR 91092)
• (en) A. Rhind, « Tables to facilitate the computation of the probable errors of the chief constants of skew frequency distributions », Biometrika, vol. 7, n^os 1/2,‎ juillet–octobre 1909, p. 127–147 (DOI 10.1093/biomet/7.1-2.127, JSTOR 2345367, lire en ligne)
• (en) J.K. Ord, Families of Frequency Distributions, London, Griffin.

• (en) A Guide to the Pearson Type IV Distribution, Joel Heinrich, University of Pennsylvania, 2004
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
• (en) Eric W. Weisstein, « Pearson Type III Distribution », sur MathWorld.