Fonction concave

Cette définition est équivalente à la définition suivante :

Définition — Une fonction f d'un intervalle réel I vers ℝ est dite concave lorsque, pour tous x₁ et x₂ de I et tout t dans [0 ; 1] on a :

${\displaystyle f(t\,x_{1}+(1-t)\,x_{2})\geq t\,f(x_{1})+(1-t)\,f(x_{2}).}$

Cette définition traduit le fait qu'un segment joignant deux points de la courbe représentative de f est toujours situé sous cette courbe.

On dispose de deux caractérisations :

On déduit de la seconde caractérisation :

• que toute fonction concave et dérivable (sur un intervalle réel) est de classe C¹[1] ;
• le corollaire suivant, fort pratique pour vérifier sans mal la concavité d'exemples spécifiques :

Exemples de fonctions réelles concaves.

Parmi les fonctions concaves simples, on peut citer évidemment par définition les opposées des fonctions réelles convexes, par exemple :

• x ↦ –xⁿ avec n un entier pair ;
• x ↦ –exp(x).

Citons également certaines réciproques de fonctions convexes, par exemple sur ℝ₊* :

• la fonction logarithme népérien ;
• la fonction puissance x ↦ x^a si 0 ≤ a ≤ 1.

De manière plus générale, les fonctions deux fois dérivables dont la dérivée seconde est toujours négative sont des fonctions concaves. Mais une fonction concave n'est pas nécessairement dérivable, comme en témoigne la fonction x ↦ –|x|.

Fonction convexe-concave