Opposé (mathématiques)

Par exemple :

• l’opposé de 7 est égal à –7 car 7 + (–7) = 0
• l’opposé de -0,3 est 0,3 car –0,3 + 0,3 = 0.

Ainsi d’après le dernier exemple, –(–0,3) = 0,3.

Plus généralement, si E est un ensemble muni d’une loi interne d’addition associative et commutative, l’opposé d’un élément x de E est le symétrique (s’il existe) de cet élément, et est noté en général –x.

Si de plus tous les éléments de E sont symétrisables pour la loi d’addition, alors il est possible de définir une loi de ℤ×E dans E par :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,\forall x\in E,n.x=\left\{{\begin{matrix}\underbrace {x+x+\ldots +x} &{\ {\rm {si\ }}}n>0\\{}_{n{\ {\rm {fois}}}}\\0&{\ {\rm {si\ }}}n=0\\\underbrace {(-x)+(-x)+\ldots +(-x)} &{\ {\rm {si\ }}}n<0\\{}_{-n\ {\rm {fois}}}\end{matrix}}\right.}$

Dans les cas particuliers des ensembles ℤ, ℚ, ℝ et ${\displaystyle \mathbb {C} }$, le produit pour la multiplication interne d’un nombre par –1 est égal à l’opposé de ce nombre.

Les ensembles dont tous les éléments admettent un opposé pour l’addition dans cet ensemble sont :

• les entiers relatifs ;
• les nombres rationnels ;
• les nombres réels ;
• les nombres complexes.

En revanche, l'ensemble des entiers naturels n'a pas cette propriété : 3 a bien un opposé, –3, mais ce n'est pas un entier naturel.

Pour construire l’ensemble ℤ des entiers relatifs à partir de l’ensemble ℕ des entiers naturels, il suffit d’inclure formellement à ce dernier les opposés des entiers naturels. Ainsi, on dit que l’ensemble des entiers naturels n’est pas stable pour l’opposé, parce que leurs opposés ne sont pas des entiers naturels.

Soient (G,+) un groupe commutatif, dont la loi de composition interne est notée additivement et dont l’élément neutre est noté 0, et x un élément quelconque de G. On appelle opposé de x et on note –x l’élément symétrique de x, i. e. l’unique élément –x de G tel que :

${\displaystyle x+(-x)=(-x)+x=0.}$

La plupart des ensembles stables par l'opposé sont des groupes abéliens :

• l'opposé d'un nombre complexe a + bi est le complexe –(a + bi) = (–a) + (–b)i. Graphiquement, c'est le complexe obtenu par symétrie centrale autour de l'origine.
• dans un espace vectoriel, le vecteur noté −v désigné le vecteur opposé à v, de même norme et de même direction mais de sens opposé, et leur somme donne le vecteur nul.
• en arithmétique modulaire, l'inverse additif modulaire d'un nombre x est le nombre a tel que a + x ≡ 0 (mod n). Ce nombre existe toujours. Par exemple, l'inverse de 5 modulo 9 est 4 car il vérifie l'équation 5 + x ≡ 0 (mod 9).

• Inverse
• Élément inversible

• (en) Eric W. Weisstein, « Additive Inverse », sur MathWorld